Стратегии решения математических задач

Каждую главу в этой книге мы начинаем с описания конкретной стратегии, показывающего, как ее можно использовать в каждодневных ситуациях, а затем приводим примеры применения в математике. После этого мы представляем ряд задач, которые лучше всего решаются с помощью именно этой стратегии. Каждая задача — это попытка проиллюстрировать применение конкретной стратегии. В число стратегий, которые мы собираемся рассмотреть, входят:

1. Логическое рассуждение.

2. Распознавание закономерности.

3. Действие от обратного.

4. Принятие другой точки зрения.

5. Анализ экстремальных ситуаций.

6. Решение более простой аналогичной задачи.

7. Организация данных.

8. Схематичное изображение, или визуальное представление.

9. Учет всех возможностей.

10. Обоснованное предположение и проверка.

Как мы уже говорили, редко когда задачу можно решить единственным способом. Решение, которое мы демонстрируем, представляет собой всего лишь один иллюстративный пример. Мы предлагаем читателю попытаться найти другие решения, возможно, более интересные и необычные. Если это вам удастся, мы скажем, что вы молодец! Кроме того, в некоторых случаях, когда доступно несколько стратегий, можно с разным успехом использовать их сочетания.

Чтобы показать, как можно подойти к задаче (и решить ее) с использованием различных стратегий, мы обычно даем несколько решений.

Задача

В комнате, где находятся 10 человек, все поздоровались друг с другом, однократно пожав руку. Сколько всего было рукопожатий?

Решение 1

Воспользуемся стратегией визуального представления и построим схему. В ней 10 точек (которые расположены так, что никакие три из них не находятся на одной прямой), представляющих 10 людей. Начнем с человека, представленного точкой А.

Мы соединяем точку А с каждой из остальных девяти точек и, таким образом, обозначаем первые девять рукопожатий.

Далее, из точки B исходят восемь дополнительных рукопожатий (поскольку А уже поздоровался с B, и линия AB уже построена). Аналогичным образом из точки C

можно провести только семь линий к другим точкам (линии AC и BC уже построены), из точки D — шесть дополнительных линий и т. д. Когда мы дойдем до точки I, останется только одно доступное рукопожатие, а именно I с J, поскольку I уже поздоровался с A, B, C, D, E, F, G и H. Таким образом, сумма рукопожатий составит 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45. Это то же самое, что получается при использовании формулы для суммы первых n натуральных чисел: где n ≥ 2. (Обратите внимание на то, что последний рисунок — это десятиугольник, у которого построены все диагонали.)

Решение 2

Для решения задачи можно использовать стратегию учета всех возможностей. Возьмем показанную ниже сетку, в которую включены 10 человек, A, B, C, …, H, I, J, пожимающие друг другу руки. Диагональ с символами X показывает, что люди не могут пожимать руки самим себе.

Оставшиеся клетки показывают двойное число всех других рукопожатий (т. е. A пожимает руку B, а B пожимает руку A). Таким образом, нам нужно взять общее количество клеток (10²), вычесть из него количество клеток на диагонали (10) и разделить результат на два. В результате мы получаем:

В общем случае для сетки размером n × n результат будет равен что эквивалентно формуле приведенной выше.

Решение 3

Попробуем теперь решить задачу с помощью принятия другой точки зрения. Возьмем комнату, где находятся 10 человек, каждый из которых пожимает руку остальным девяти. Можно предположить, что число рукопожатий будет равным 10 × 9, или 90. Однако нам нужно разделить это число на два, чтобы устранить дублирование (поскольку рукопожатие A с B можно рассматривать как рукопожатие B с A), и мы получаем

Решение 4

Теперь подойдем к решению задачи через распознавание закономерности. В таблице, представленной ниже, мы перечисляем количество рукопожатий в комнате по мере увеличения числа присутствующих.

В третьей колонке, где приведено суммарное количество рукопожатий, представлена последовательность чисел, называемых треугольными, разность между которыми возрастает каждый раз на единицу. Таким образом, можно просто заполнять таблицу до тех пор, пока мы не достигнем суммы, соответствующей 10 человекам. Можно заметить следующую закономерность: результат в каждой строке равен половине произведения количества людей в этой строке на количество людей в предыдущей строке.

Решение 5