Теорема века. Мир с точки зрения математики

Поскольку невозможно указать конкретный опыт, который мог бы быть истолкован в евклидовой системе и не мог бы быть истолкован в системе Лобачевского, то я могу заключить: никогда никакой опыт не окажется в противоречии с постулатом Евклида, но зато и никакой опыт не будет никогда в противоречии с постулатом Лобачевского.

5. Итак, евклидова (или неевклидова) геометрия никогда не может оказаться в прямом противоречии с опытом. Но этого недостаточно. Возникает вопрос: не может ли случиться, что ее можно будет согласовать с опытом лишь путем нарушения принципа достаточного основания и принципа относительности пространства?

Объясняюсь подробнее. Рассмотрим какую-нибудь материальную систему; мы обратим внимание, с одной стороны, на «состояние» различных тел этой системы (например, на их температуру, электрический потенциал и т. д.), с другой стороны – на их положение в пространстве; и среди данных, которые позволяют определить это положение, мы различим еще взаимные расстояния этих тел, определяющие их относительные положения, и условия, которые определяют абсолютное положение системы и ее абсолютную ориентировку в пространстве.

Законы явлений, которые будут происходить в этой системе, могут зависеть от состояния этих тел и их взаимных расстояний; но вследствие относительности и пассивности пространства они не будут зависеть от абсолютного положения и абсолютной ориентировки системы.

Другими словами, состояние тел и их взаимные расстояния в какой-нибудь момент будут зависеть от состояния этих же тел и их взаимных расстояний в начальный момент; но они ни в каком случае не будут зависеть от абсолютного начального положения системы и ее абсолютной начальной ориентировки. Это свойство для краткости я буду называть законом относительности.

Я говорил до сих пор как геометр, следующий Евклиду. Всякий опыт, как я уже сказал, допускает истолкование на почве евклидовой гипотезы; но он допускает его и на почве гипотезы неевклидовой. Мы произвели ряд опытов; мы их истолковали на основании евклидовой гипотезы и нашли, что это истолкование согласно с «законом относительности».

Истолкуем их теперь по неевклидовой гипотезе. Это всегда возможно; отличие же лишь в том, что в этом новом истолковании неевклидовы расстояния между отдельными телами вообще не будут теми же, что евклидовы расстояния в первом истолковании.

Но будут ли истолкованные таким новым способом опыты по-прежнему оставаться в согласии с нашим «законом относительности»? И если это согласие не сохранится, то не будем ли мы все-таки вправе сказать, что опыт доказал неправильность неевклидовой геометрии?

Легко видеть, что это опасение напрасно; в самом деле, для того чтобы можно было приложить закон относительности во всей строгости, надо было бы приложить его ко всей Вселенной. Если же иметь в виду только часть этой Вселенной и если абсолютное положение этой части изменилось, то и расстояния ее относительно других тел Вселенной также изменились, следовательно, их влияние на рассматриваемую часть Вселенной могло увеличиться или уменьшиться; а это может изменить законы происходящих здесь явлений.

Но если система, о которой у нас идет речь, есть вся Вселенная, то опыт бессилен дать нам указания о ее абсолютном положении и ориентировке в пространстве. Все, что могут обнаружить наши инструменты, сколь бы совершенны они ни были, – это состояние различных частей Вселенной и их взаимные расстояния.

Таким образом, наш закон относительности может быть формулирован так:

Отсчеты, которые мы можем производить в какой-нибудь момент на наших инструментах, будут зависеть только от отсчетов, которые мы могли бы произвести на тех же инструментах в начальный момент.

Но подобная формулировка не зависит ни от какого истолкования опытов. Если закон верен в евклидовом истолковании, он будет верен также и в неевклидовом истолковании.

Я позволю себе по этому поводу сделать маленькое отступление. Выше я говорил о данных, определяющих положение различных тел системы; мне следовало бы сказать также о данных, определяющих их скорости; тогда мне пришлось бы различать, с одной стороны, скорость, с которой изменяются взаимные расстояния различных тел, а с другой – скорости переноса и вращения системы, т. е. скорости, с которыми изменяются ее абсолютное положение и ориентировка.

Для полного удовлетворения ума надо было бы закон относительности формулировать так:

Состояние тел и их взаимные расстояния в какой-нибудь момент, так же как и скорости, с которыми изменяются эти расстояния в тот же момент, зависят только от состояния этих тел, их взаимных расстояний в начальный момент, а также от скоростей, с которыми последние изменялись в этот начальный момент; но они не будут зависеть ни от начального абсолютного положения системы, ни от ее абсолютной ориентировки, ни от скоростей, с которыми изменялись это абсолютное положение и ориентировка в начальный момент.

К сожалению, закон, сформулированный таким образом, не находится в согласии с опытами, по крайней мере с обычным их истолкованием.