Теорема зонтика, или Искусство правильно смотреть на мир через призму математики

Тем не менее правильный ответ нас озадачил. Луна на самом деле находится на расстоянии 384 000 км от Земли. Таким образом, простое вычитание показало нам, что мы ошиблись на 416 000 км, в то время как команда противника ошиблась только на 383 990 км.

Я моргнул и посчитал еще раз. Ошибки не было. Признаться, я даже нацарапал небольшую схему на бумажной салфетке, чтобы окончательно убедиться.

Сомнений не было: их ответ был ближе к правильному, чем наш. Они победили. Несколько минут я пересчитывал и прокручивал расчет в голове, но ничего не поделаешь. Математика была категорична.

Но все же, вам не кажется, что эта ситуация несправедлива? Да, возможно я выгляжу, как человек, который не умеет проигрывать, но вы не думаете, что, несмотря на результат, наш ответ был более разумным, более продуманным и, в некотором смысле, менее неправильным, чем у другой команды?

Но почему в таком случае математика говорит об обратном? Почему расчеты показывают, что почти абсурдный ответ ближе к истине?

Или стоит задать вопрос немного по-другому: правильно ли мы понимаем математику, которой пользуемся? Математика не ошибается, но люди, которым она служит, иногда могут использовать ее ненадлежащим образом.

Если немного подумать, то можно представить множество подобных ситуаций. Рост кошки в среднем составляет 25 см, а лабрадора – 60 см. Некоторые бактерии достигают в длину одну тысячную миллиметра. Таким образом, можно утверждать, что по размеру кошка ближе к бактериям, чем к лабрадору. Разница в росте между кошкой и бактериями составляет около 25 см, а между кошкой и собакой – 35 см.

Но это заключение, к которому нас подводят числа, снова противоречит нашему естественному восприятию реальности. Кошка и собака принадлежат к одному миру. Они могут играть вместе или, по крайней мере, взаимодействовать. Они видят друг друга, чувствуют друг друга, они знают, что оба существуют. Но кошка, если, конечно, она не изучала науку, понятия не имеет о существовании бактерий. Они не являются частью ее мира, они настолько малы, что их невозможно ни увидеть, ни даже вообразить.

Можно привести еще несколько похожих примеров, которые кажутся интуитивно нелогичными, но все же математически точными. Температура на поверхности Солнца ближе к 5 °C, чем к 15 000 °C. Население Парижа ближе к населению деревни с 12 жителями, чем к населению Нью-Йорка. Если вы взвесите планету Марс, то обнаружите, что ее масса ближе к массе мячика для пинг-понга, чем к массе Земли.

Как и в случае с законом Бенфорда, эти ситуации ставят нас в логический тупик только потому, что мы думаем неверно. Потому что мы используем математический инструментарий, который плохо понимаем, в контексте, в котором он неуместен.

Как же тогда воплотить эти интуитивные размышления в математике? Ответ можно найти в тонком понятии порядка величины.

Сама идея простая, но невероятно мощная. Думать посредством порядка величины – значит думать с помощью умножения, а не сложения.

Если вы хотите сравнить числа 2 и 10, вы можете сделать это двумя разными способами. Путем сложения: сколько нужно добавить к 2, чтобы получить 10? В таком случае ответ 8. Или путем умножения: на сколько нужно умножить 2, чтобы получить 10? Тогда ответ равен 5. В первом случае разница между двумя числами получается путем вычитания: 10 : 2 = 8. Во втором – деления: 10 ч 2 = 5.

Сказать, что два числа имеют одинаковый порядок величины, значит сказать, что они близки с точки зрения умножения.

Несмотря на то, что на первый взгляд эта идея кажется довольно странной, любой, кто начинает мыслить мультипликативно, то есть посредством умножения, быстро понимает, насколько этот подход лучше соответствует нашей интуиции.

Вернемся к нашей научной викторине. Вот как я мог бы отстоять нашу победу в игре, если бы тогда мыслил здраво. Луна находится на расстоянии 384 000 километров от Земли, а наша команда ответила, что на расстоянии 800 000 км, то есть примерно в два раза дальше. Если мы поделим числа, то окажется, что наш ответ был в 2,08 раза больше верного. Наши противники ответили, что расстояние составляет 10 км, то есть в 38 400 раз меньше правильного ответа! С этой точки зрения мы действительно победили. Более того, этот результат гораздо лучше соответствует нашему интуитивному восприятию мира.

Такой подход сработает и со всеми остальными примерами. Если считать мультипликативно, то размер кошки ближе к размеру собаки, чем к размеру бактерии, масса Марса ближе к массе Земли, чем к массе мячика для пинг-понга, население Парижа ближе к населению Нью-Йорка, чем к населению маленькой деревни, и так далее.