Теория струн и скрытые измерения Вселенной

Рис. 10.8.Если у вас есть петля фиксированной длины, то вы можете сделать бесконечное число эллипсов, одни более вытянутые, другие – более округлые, но вы можете сделать только одну окружность заданной длины. Другими словами, ослабив свойства, которые определяют окружность, вы можете получить любое число эллипсов. Аналогично многообразие Калаби-Яу, которое имеет кэлерову симметрию, по определению является (как и окружность) более частным случаем, чем не-кэлерово многообразие, которое удовлетворяет менее жестким условиям и охватывает более широкий класс объектов

Система, предложенная Строминджером, отнюдь не сахар, поскольку она состоит из четырех дифференциальных уравнений, которые должны быть решены одновременно, причем каждое из них может быть кошмаром для решения. Эта система состоит из двух эрмитовых уравнений Янга-Миллса, которые предназначены для калибровочных полей (см. девятую главу). Еще одно уравнение гарантирует, что вся геометрия является суперсимметричной, а последнее предназначено для устранения аномалий, что существенно для обеспечения согласованности теории струн.

Как будто и без того задача не оказывается достаточно сложной, так вдобавок каждое из четырех уравнений фактически представляет собой систему уравнений, а не одно уравнение. Каждое из них можно записать как тензорное уравнение, но так как сам тензор содержит много переменных, то можно разделить одно уравнение на отдельные уравнения для компонентов.

По этой же причине известное уравнение Эйнштейна, которое содержит в себе всю общую теорию относительности, фактически представляет собой набор из десяти уравнений поля, описывающих гравитацию как кривизну пространства-времени, вызванную наличием вещества и энергии, несмотря на то что его можно записать как одно тензорное уравнение. При доказательстве гипотезы Калаби решение уравнений Эйнштейна в вакууме сводится к одному уравнению, хотя и довольно впечатляющему. С не-кэлеровыми многообразиями работать тяжелее, чем с многообразиями Калаби-Яу, потому что здесь наблюдается меньшая симметрия и, следовательно, больше переменных, каждая из которых ведет к увеличению числа уравнений, подлежащих решению. Кроме того, на данный момент у нас фактически нет математических инструментов для решения этой проблемы. В случае с Калаби-Яу, мы привлекли алгебраическую геометрию, инструменты которой разрабатывались на протяжении двух предыдущих столетий, что позволило нам справиться с кэлеровыми многообразиями, но не с их не-кэлеровыми коллегами.

Тем не менее я не считаю, что эти два класса многообразий настолько разные с математической точки зрения. Мы использовали геометрический анализ для построения многообразий Калаби-Яу, и я убежден, что эти инструменты помогут нам построить не-кэлеровы многообразия, допуская, что сначала мы должны решить уравнения Строминджера или, по крайней мере, доказать, что решения существуют. Физикам необходимо знать, действительно ли не-кэлеровы многообразия могут существовать и если да, то удовлетворяют ли всем четырем уравнениям сразу, поскольку, если это невозможно, то люди, работающие над этой задачей, просто даром теряют время. Я занимаюсь ею почти двадцать лет с тех пор, как Строминджер выдвинул свою идею, и не могу найти решение. То есть решение без сингулярностей, так как Строминджер нашел несколько решений с сингулярностями, но они оказались чрезвычайно сложными. И люди начали верить, что решений без сингулярностей не существует.

Затем произошел небольшой прорыв. Я и несколько моих коллег обнаружили решения без сингулярностей для пары специальных случаев. В первой статье, которую я завершил в 2004 году вместе с математиком из Стэнфорда Юном Ли (моим бывшим аспирантом), мы доказали, что класс не-кэлеровых многообразий математически возможен. Фактически для каждого известного многообразия Калаби-Яу мы доказали существование целого семейства не-кэлеровых многообразий, которые достаточны похожи по структуре, чтобы входить в одно семейство. Таким образом, впервые существование этих многообразий было подтверждено математически.

Хотя решение уравнений Строминджера является чрезвычайно трудным делом, мы с Ли сделали самое легкое, что можно было сделать в этой области. Мы доказали, что эти уравнения можно решить для частного случая, когда не-кэлерово многообразие очень близко к многообразию Калаби-Яу. Фактически, мы начали с многообразия Калаби-Яу и показали, как его деформировать, чтобы геометрия или метрика уже не были кэлеровыми. Хотя многообразие все еще могло поддерживать метрику Калаби-Яу, его метрика уже была не-кэлеровой, что сделало возможными решения системы Строминджера.