Теория струн и скрытые измерения Вселенной

Вероятно, важнее то, что Ли и я обобщили теорему DUY (о которой упоминалось в девятой главе и название которой является аббревиатурой фамилий ее авторов – Дональдсона, Уленбека и Яу), чтобы охватить все не-кэлеровы многообразия. Теорема DUY имеет большое практическое значение, потому что она автоматически берет на себя решения двух из четырех уравнений Строминджера, связанных с эрмитовой теорией Янга-Миллса, и позволяет решить уравнения суперсимметрии и устранения аномалий.

Учитывая, что DUY является инструментальным средством для компактификаций Калаби-Яу (с точки зрения воспроизведения калибровочных полей), мы надеемся, что она также пригодится для не-кэлеровых компактификаций.

Одним из перспективных способов получения не-кэлеровых многообразий, подразумеваемый гипотезой Рида, является применение конифолдного перехода к уже известному многообразию Калаби-Яу. Я недавно рассматривал эту возможность с Юном Ли и Джи-Хианом Фу, бывшим своим гарвардским аспирантом, сейчас работающим в Фуданьском университете в Шанхае. Исходное многообразие, с которого мы начали, предложил Херб Клеменс, один из архитекторов конифолдного перехода, но он обеспечил нас только общей топологией, то есть многообразием без метрики и, следовательно, без геометрии. Фу, Ли и я пытались придать этому многообразию некоторую форму, показав существование метрики, которая будет удовлетворять уравнениям Строминджера.

Эти уравнения представляются уместными здесь, потому что они применимы не только к не-кэлеровым многообразиям, но также к многообразиям Калаби-Яу, которые представляют собой частный случай. Кроме того, гипотеза Рида включает процедуру, которая позволяет перейти от многообразий Калаби-Яу к не-кэлеровым многообразиям и обратно.

Таким образом, если вам нужен набор уравнений, которые охватывают обе геометрии, то формулировки Строминджера – возможно, именно то, что вы искали. Мы с коллегами доказали, что многообразие Клеменса удовлетворяет трем из четырех уравнений Строминджера, но пока мы не нашли решение для самого трудного из всех уравнений – уравнения устранения аномалий. Я все еще убежден, что искомое многообразие существует. В конце концов, если наши усилия увенчались решением трех уравнений – это уже хорошо. Но пока мы не решим последнее уравнение, у нас не будет необходимого доказательства.

Фу и я пошли дальше, показав, как построить класс, топологически отличный от не-кэлеровых многообразий, который удовлетворяет уравнениям Строминджера. Если вести построение с нуля, а не путем модифицирования известных многообразий Калаби-Яу, то получаемые многообразия, по сути, являются не-кэлеровыми. Они состоят из поверхностей K3 (четырехмерные многообразия Калаби-Яу) с двухмерными торами, присоединенными к каждой точке. Решение уравнения Строминджера в этом случае включает решение уравнения Монжа-Ампера (класс нелинейных дифференциальных уравнений, который мы обсуждали в пятой главе), которое сложнее, чем то, которое мне пришлось решать для доказательства гипотезы Калаби. К счастью, мы с Фу смогли оттолкнуться от наших ранних работ. Наш метод, как и в случае с доказательством гипотезы Калаби, включал априорное оценивание, то есть мы должны были предсказать диапазон значений разных параметров.

Мы с Фу нашли особый метод, позволивший нам решить не одно, а все четыре уравнения. В то время как в случае гипотезы Калаби я смог получить все возможные решения уравнения Монжа-Ампера, на этот раз мы получили лишь подмножество целого класса решений. К сожалению, мы не достаточно хорошо понимали систему, чтобы определить, насколько большим или маленьким является это подмножество. Но, по крайней мере, мы сделали несколько предварительных шагов.

Большинство физиков, которые начинали работать с не-кэлеровыми компактификациями, допускают, что уравнения Строминджера можно решить, не беспокоясь о доказательстве этого. Ли, Фу и я показали, что эти уравнения можно решить в отдельных случаях, которые мы пока не определили, но это еще один способ доказать, что специфические многообразия, то есть какая-то часть всех не-кэлеровых многообразий, действительно существуют. Это явилось всего лишь отправной точкой для решения более существенной задачи: нахождение метрики, удовлетворяющей системе Строминджера и всем ее уравнениям. Несмотря на то что пока никто и близко не подошел к решению этой проблемы и все признаки указывают на то, что проблема дастся физикам нелегко, мы с коллегами нашим небольшим вкладом, по крайней мере, подняли вопрос о его возможности.