Ткань космоса. Пространство, время и текстура реальности

Насколько мало маленькое? Математический анализ Клейна, в котором использовались некоторые свойства квантовой механики вместе с оригинальным предложением Калуцы, показал, что радиус дополнительного циклического пространственного измерения, вероятно, будет порядка планковской длины, ^{168}

что определённо слишком мало, чтобы он был доступен для экспериментального обнаружения (самое совершенное современное оборудование не позволяет рассмотреть что-либо меньшее, чем одна тысячная размера атомного ядра, а это не дотягивает до планковской длины более миллиона миллиардов раз). Однако для воображаемого червяка планковского размера это крошечное скрученное циклическое измерение обеспечит новое направление, в котором он может странствовать так же свободно, как обычный червяк использует циклическое измерение каната на рис. 12.5. Конечно, точно так же, как обычный червяк обнаружит, что в направлении по часовой стрелке вокруг каната есть не так-то много пространства для исследования, прежде чем он наткнётся на свой собственный хвост и окажется в стартовой точке, червячок планковской длины, ползущий вдоль скрученного измерения пространства, также будет постоянно возвращаться назад к началу пути. Но, не взирая на длину путешествия, которое он может предпринять, скрученное измерение предоставляло бы направление, в котором крохотный червячок мог бы двигаться так же легко, как он это делает в трёх привычных развёрнутых измерениях.

Чтобы интуитивно почувствовать, на что это похоже, отметим, что то, что мы называем скрученным измерением каната, — направление по/против часовой стрелки, — существует в каждой точке вдоль его протяжённого измерения

. Обычный червяк может сделать круг по замкнутому циклическому измерению в любой точке вдоль длины каната, так что поверхность каната может быть описана как имеющая одно протяжённое измерение, к каждой точке которого прикреплено крохотное цикличное измерение, как на рис. 12.6. Этот образ полезно иметь в уме, поскольку он также применим к предложению Клейна о том, где прячется дополнительное пространственное измерение Калуцы.

Рис. 12.6.

Поверхность натянутого каната имеет одно протяжённое измерение, к каждой точке которого прикреплено крохотное цикличное измерение

Чтобы увидеть это, рассмотрим ткань пространства снова путём последовательной демонстрации её структуры на всё меньших масштабах длины, как на рис. 12.7. На первых нескольких уровнях увеличения ничего нового не обнаруживается: ткань пространства всё ещё выглядит трёхмерной (что, как обычно, мы схематически представляем на картинке в виде двумерной сетки). Однако когда мы доберёмся до планковского масштаба, т. е. до наибольшего увеличения, представленного на рисунке, Клейн предполагает, что новое, скрученное измерение станет видимым. Точно так же, как циклическое измерение каната существует в каждой точке его видимого протяжённого измерения, циклическое измерение, в соответствии с этим предложением, существует в каждой точке обычных трёх протяжённых измерений повседневной жизни. На рис. 12.7 мы показали это, дорисовав дополнительное циклическое измерение только в некоторых точках протяжённых измерений (поскольку рисование окружностей в каждой точке закроет весь рисунок), и вы немедленно можете увидеть сходство с канатом на рис. 12.6. В предложении Клейна, следовательно, пространство должно представляться как имеющее три протяжённых измерения (из которых мы показали на рисунке только два) с дополнительным циклическим измерением, присоединённым к каждой точке. Отметим, что дополнительное измерение не есть выпуклость или петля внутри обычных трёх пространственных измерений, как могут заставить вас подумать ограниченные возможности графики. Дополнительное измерение есть новое измерение, совершенно отличное от трёх, известных нам, которое существует в каждой точке в нашем обычном трёхмерном пространстве, но столь мало, что ускользает от обнаружения даже нашими самыми мощными инструментами.

Рис. 12.7.Предложение Калуцы и Клейна заключается в том, что на очень малых масштабах пространство имеет дополнительное циклическое измерение, присоединённое к каждой точке обычного пространства