Том 1. Механика, излучение и теплота

Чтобы продвинуться дальше, вернемся к системе единиц, где время измеряется в настоящих секундах. Что будет решением в этом случае? Может быть, мы учтем постоянные k и m, умножив на соответствующий множитель cost? Попробуем. Пусть x=Acost, тогда dx/dt=-Asint и d²t/dt²=-Acost=-x. К нашему огорчению, мы не преуспели в решении уравнения (21.2), а снова вернулись к (21.3). Зато мы открыли важнейшее свойство линейных дифференциальных уравнений: если умножить решение уравнения на постоянную, то мы снова получим решение. Математически ясно — почему. Если х есть решение уравнения, то после умножения обеих частей уравнения на А производные тоже умножатся на A и поэтому

Ах так же хорошо удовлетворит уравнению, как и х. Послушаем, что скажет по этому поводу физик. Если грузик растянет пружинку вдвое больше прежнего, то вдвое возрастет сила, вдвое возрастет ускорение, в два раза больше прежней будет приобретенная скорость и за то же самое время грузик пройдет вдвое большее расстояние. Но это вдвое большее расстояние — как раз то самое расстояние, которое надо пройти грузику до положения равновесия. Таким образом, чтобы достичь равновесия, требуется столько же времени и оно не зависит от начального смещения. Иначе говоря, если движение описывается линейным уравнением, то независимо от «силы» оно будет развиваться во времени одинаковым образом.

Ошибка пошла нам на пользу — мы узнали, что, умножив решение на постоянную, мы получим решение прежнего уравнения. После нескольких проб и ошибок можно прийти к мысли, что вместо манипуляций с х надо изменить шкалу времени. Иначе говоря, уравнение (21.2) должно иметь решение вида

(21.4)

(Здесь ω₀ — вовсе не угловая скорость вращающегося тела, но нам не хватит всех алфавитов, если каждую величину обозначать особой буквой.) Мы снабдили здесь ω индексом 0, потому что нам предстоит встретить еще много всяких омег: запомним, что ω₀ соответствует естественному движению осциллятора. Попытка использовать (21.4) в качестве решения более успешна, потому что dx/dt=-ω₀sinω₀t и d²x/dt²=-ω₀²ωcosω₀t=-ω₀

²x. Наконец-то мы решили то уравнение, которое и хотели решить. Это уравнение совпадает с (21.2), если ω₀²=k/m.

Теперь нужно понять физический смысл ω₀. Мы знаем, что косинус «повторяется» после того, как угол изменится на 2π. Поэтому x=cosω₀t будет периодическим движением; полный цикл этого движения соответствует изменению «угла» на 2π. Величину ω₀t часто называют фазой движения. Чтобы изменить ω₀t на 2π, нужно изменить t на t₀ (период полного колебания); конечно, t₀ находится из уравнения ω₀t

₀=2π. Это значит, что ω₀t₀ нужно вычислять для одного цикла, и все будет повторяться, если увеличить t на t₀; в этом случае мы увеличим фазу на 2π. Таким образом,

(21.5)

Значит, чем тяжелее грузик, тем медленнее пружинка будет колебаться взад и вперед. Инерция в этом случае будет больше, и если сила не изменится, то ей понадобится большее время для разгона и торможения груза. Если же взять пружинку пожестче, то движение должно происходить быстрее; и в самом деле, период уменьшается с увеличением жесткости пружины.

Заметим теперь, что период колебаний массы на пружинке не зависит от того, как колебания начинаются. Для пружинки как будто безразлично, насколько мы ее растянем. Уравнение движения (21.2) определяет период колебаний, но ничего не говорит об амплитуде колебания. Амплитуду колебания, конечно, определить можно, и мы сейчас займемся этим, но для этого надо задать начальные условия.

Дело в том, что мы еще не нашли самого общего решения уравнения (21.2). Имеется несколько видов решений. Решение x=cosω₀t соответствует случаю, когда в начальный момент пружинка растянута, а скорость ее равна нулю. Можно иначе заставить пружинку двигаться, например улучить момент, когда уравновешенная пружинка покоится (х=0), и резко ударить по грузику; это будет означать, что в момент t=0 пружинке сообщена какая-то скорость. Такому движению будет соответствовать другое решение (21.2) — косинус нужно заменить на синус. Бросим в косинус еще один камень: если x=cosω₀t—решение, то, войдя в комнату, где качается пружинка, в тот момент (назовем его «t=0»), когда грузик проходит через положение равновесия (x=0), мы будем вынуждены заменить это решение другим. Следовательно, x=cosω₀t не может быть общим решением; общее решение должно допускать, так сказать, перемещение начала отсчета времени. Таким свойством обладает, например, решение x=acos

ω₀(t-t₁), где t₁ — какая-то постоянная. Далее, можно разложить

и записать

где A=acosΔ и В=-asinΔ. Каждую из этих форм можно использовать для записи общего решения (21.2): любое из существующих в мире решений дифференциального уравнения d²x/dt²=-ω²₀x можно записать в виде

(21.6а)

или

(21.6б)

или

(21.6в)