Том 1. Механика, излучение и теплота

Некоторые из встречающихся в (21.6) величин имеют названия: ω₀ называют угловой частотой; это число радианов, на которое фаза изменяется за 1 сек. Она определяется дифференциальным уравнением. Другие величины уравнением не определяются, а зависят от начальных условий. Постоянная а служит мерой максимального отклонения груза и называется амплитудой колебания. Постоянную Δ иногда называют фазой колебания, но здесь возможны недоразумения, потому что другие называют фазой ω₀t+Δ и говорят, что фаза зависит от времени. Можно сказать, что Δ — это сдвиг фазы по сравнению с некоторой, принимаемой за нуль. Не будем спорить о словах. Разным Δ соответствуют движения с разными фазами. Вот это верно, а называть ли Δ фазой или нет — уже другой вопрос.

§ 3. Гармоническое движение и движение по окружности

Косинус в решении уравнения (21.2) наводит на мысль, что гармоническое движение имеет какое-то отношение к движению по окружности. Это сравнение, конечно, искусственное, потому что в линейном движении неоткуда взяться окружности: грузик движется строго вверх и вниз. Можно оправдаться тем, что мы уже решили уравнение гармонического движения, когда изучали механику движения по окружности. Если частица движется по окружности с постоянной скоростью v, то радиус-вектор из центра окружности к частице поворачивается на угол, величина которого пропорциональна времени. Обозначим этот угол θ=vt/R (фиг. 21.2).

Фиг. 21.2. Частица, движущаяся по кругу с постоянной скоростью.

Тогда dθ/dt=ω₀

=v/R. Известно, что ускорение а=v²/R=ω²₀R и направлено к центру. Координаты движущейся точки в заданный момент равны

Что можно сказать об ускорении? Чему равна x-составляющая ускорения, d²x

/dt². Найти эту величину можно чисто геометрически: она равна величине ускорения, умноженной на косинус угла проекции; перед полученным выражением надо поставить знак минус, потому что ускорение направлено к центру:

(21.7)

Иными словами, когда частица движется по окружности, горизонтальная составляющая движения имеет ускорение, пропорциональное горизонтальному смещению от центра. Конечно, мы знаем решения для случая движения по окружности: x=Rcosω₀t. Уравнение (21.7) не содержит радиуса окружности; оно одинаково при движении по любой окружности при одинаковой ω₀

.

Таким образом, имеется несколько причин, по которым следует ожидать, что отклонение грузика на пружинке окажется пропорциональным cosω₀t и движение будет выглядеть так, как если бы мы следили за x-координатой частицы, движущейся по окружности с угловой скоростью ω₀. Проверить это можно, поставив опыт, чтобы показать, что движение грузика вверх-вниз на пружинке в точности соответствует движению точки по окружности. На фиг. 21.3 свет дуговой лампы проектирует на экран тени движущихся рядом воткнутой во вращающийся диск иголки и вертикально колеблющегося груза.

Фиг. 21.3. Демонстрация эквивалентности простого гармонического движения и равномерного движения по окружности.

Если вовремя и с нужного места заставить грузик колебаться, а потом осторожно подобрать скорость движения диска так, чтобы частоты их движений совпали, тени на экране будут точно следовать одна за другой. Вот еще способ убедиться в том, что, находя численное решение, мы почти вплотную подошли к косинусу.

Здесь можно подчеркнуть, что поскольку математика равномерного движения по окружности очень сходна с математикой колебательного движения вверх-вниз, то анализ колебательных движений очень упростится, если представить это движение как проекцию движения по окружности. Иначе говоря, мы можем дополнить уравнение (21.2), казалось бы, совершенно лишним уравнением для у и рассматривать оба уравнения совместно. Проделав это, мы сведем одномерные колебания к движению по окружности, что избавит нас от решения дифференциального уравнения. Можно сделать еще один трюк — ввести комплексные числа, но об этом в следующей главе.

§ 4. Начальные условия