Том 1. Механика, излучение и теплота

Стоящая перед нами здесь задача, пожалуй, самая сложная из тех, которыми мы будем заниматься в этом году, но сложность ее заключается только в большом количестве складываемых членов; каждый член сам по себе очень прост. В отличие от других случаев, когда мы обычно говорили: «Забудь вывод и смотри только на результат!», теперь для нас вывод гораздо важнее результата. Другими словами, нужно понять всю физическую «кухню», с помощью которой вычисляется показатель преломления.

Чтобы понять, с чем мы имеем дело, найдем, каким должно быть «поправочное поле» Е_а, чтобы полное поле в точке Р выглядело как поле источника, замедлившееся при прохождении через стеклянную пластинку. Если бы пластинка никак не влияла на поле, волна распространялась бы направо (по оси z) по закону

(31.3)

или, используя экспоненциальную запись,

(31.4)

А что произошло бы, если бы волна проходила через пластинку с меньшей скоростью? Пусть толщина пластинки есть Δz. Если бы пластинки не было, то волна прошла бы расстояние Δz за время Δz/c. А поскольку кажущаяся скорость распространения есть c/n, то потребуется время nΔz/c, т. е. больше на некоторое добавочное время, равное Δt=(n-1) Δz/c. За пластинкой волна снова движется со скоростью с. Учтем добавочное время на прохождение через пластинку, заменив t в уравнении (31.4) на (t-Δt), т. е. [t-(n-1)Δz/c]. Таким образом, если поставить пластинку, то формула для волны должна приобрести вид

(31.5)

Эту формулу можно переписать еще и по-другому:

(31.6)

откуда заключаем, что поле за пластинкой получается умножением поля, которое было бы при отсутствии пластинки (т. е. E_s), на ехр[-iω(n-1)Δz/c]. Как мы знаем, умножение осциллирующей функции типа e^iωt на е^iθ означает изменение фазы колебаний на угол θ, возникающее из-за задержки при прохождении пластинки. Фаза запаздывает на величину ω(n-1)Δz/c (именно запаздывает, поскольку в экспоненте стоит знак минус).

Мы говорили раньше, что пластинка добавляет поле Е_а к первоначальному полю E_s=E₀ехр[iω(t-z/c)], а вместо этого нашли, что действие пластинки сводится к умножению поля на фактор, сдвигающий фазу колебаний. Однако здесь нет противоречия, поскольку тот же результат можно получить, прибавив подходящее комплексное число. Это число особенно просто найти для малых Δz, так как е^x при малых x с большой точностью равно (1+x).

Тогда можно записать

(31.7)

Подставляя это равенство в (31 6), получаем

(31.8)

Первый член в этом выражении есть просто поле источника, а второй следует приравнять Е_а — полю, создаваемому осциллирующими зарядами пластинки справа от нее. Поле Е_а выражено здесь через показатель преломления n; оно, разумеется, зависит от напряженности поля источника.

* * *

Смысл сделанных преобразований легче всего понять с помощью диаграммы комплексных чисел (см. фиг. 31.3).

Фиг. 31.3. Построение вектора поля прошедшей через материал волны при некоторых значениях t и z.

Отложим сперва E_s (z и t выбраны на рисунке такими, что E_s

лежит на действительной оси, но это не обязательно). Задержка при прохождении пластинки приводит к запаздыванию фазы E_s, т. е. поворачивает E_s на отрицательный угол. Это все равно, что добавить малый вектор Е_а, направленный почти под прямым углом к E_s. Именно такой смысл имеет множитель (-i) во втором члене (31.8). Он означает, что при действительном E_s величина Е_а отрицательная и мнимая, а в общем случае E_s и E_а образуют прямой угол.

§ 2. Поле, излучаемое средой

Мы должны теперь выяснить, имеет ли поле осциллирующих зарядов в пластинке тот же вид, что и поле Е_а во втором члене (31.8). Если это так, то тем самым мы найдем и показатель преломления n [поскольку n — единственный фактор в (31.8), не выражающийся через фундаментальные величины]. Вернемся теперь к вычислению поля Е_а, создаваемого зарядами пластинки. (Для удобства мы выписали в табл. 31.1 обозначения, которыми мы уже пользовались, и те, которые нам понадобятся в дальнейшем.)

Таблица 31.1 обозначения которыми мы пользуемся ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ

Если источник S (на фиг. 31.1) находится слева на достаточно большом расстоянии, то поле E_s имеет одинаковую фазу по всей длине пластинки, и вблизи пластинки его можно записать в виде

(31.9)

На самой пластинке в точке z=0 мы имеем

(31.10)

Это электрическое поле воздействует на каждый электрон в атоме, и они под действием электрической силы qE будут колебаться вверх и вниз (если E0 направлено вертикально). Чтобы найти характер движения электронов, представим атомы в виде маленьких осцилляторов, т. е. пусть электроны упруго соединены с атомом; это значит, что смещение электронов из нормального положения под действием силы пропорционально величине силы.