Том 2. Электромагнетизм и материя

Применить закон Гаусса можно следующим образом. Вообразим себе поверхность, имеющую форму цилиндра, ось которого совпадает с нашей прямой (фиг. 5.5).

Фиг. 5.5. Цилиндрическая гауссова поверхность, коаксиальная заряженной прямой. 1 — гауссова поверхность; 2 — заряженная прямая.

Согласно закону Гаусса, весь поток Е из этой поверхности равен заряду внутри нее, деленному на ε₀. Раз поле считается нормальным к поверхности, то его нормальная составляющая — это величина вектора поля. Обозначим ее Е. Пусть радиус цилиндра будет r, а длина его для удобства выбрана равной единице. Поток сквозь цилиндрическую поверхность равен произведению Е на площадь поверхности, т. е. на 2πr. Поток через торцы равен нулю, потому что поле касательно к ним. Весь заряд внутри нашей поверхности равен как раз λ, потому что длина оси цилиндра равна единице. Тогда закон Гаусса дает

(5.2)

Электрическое поле заряженной прямой обратно пропорционально первой степени расстояния от прямой.

§ 6. Заряженная плоскость; пара плоскостей

В качестве другого примера рассчитаем поле однородно заряженного плоского листа. Предположим, что лист имеет бесконечную протяженность и заряд на единицу площади равен σ. Сразу приходит в голову следующее соображение: из симметрии следует, что поле направлено всюду поперек плоскости, и если не существует поля от всех прочих зарядов в мире, то поля по обе стороны плоскости должны совпадать (по величине). На этот раз за гауссову поверхность мы примем прямоугольный ящик, пересекающий нашу плоскость (фиг. 5.6).

Фиг. 5.6. Электрическое поле возле однородно заряженной плоскости, найденное с помощью теоремы Гаусса, применяемой к воображаемому ящику. 1 — однородно заряженная плоскость; 2 — гауссова поверхность.

Каждая из граней, параллельных плоскости, имеет площадь А. Поле нормально к этим двум граням и параллельно остальным четырем. Суммарный поток равен Е

, умноженному на площадь первой грани, плюс Е, умноженному на площадь противоположной грани; от остальных граней никаких слагаемых не войдет. Заряд внутри ящика равен σА. Уравнивая поток с зарядом, напишем

откуда

(5.3)

Простой, но важный результат.

Вы помните, может быть, что тот же результат был получен в первых главах интегрированием по всей плоскости. Закон Гаусса дает ответ намного быстрее (хотя он не так широко применим, как прежний метод).

Подчеркнем, что этот результат относится только к полю, созданному зарядами, размещенными на плоскости. Если по соседству есть другие заряды, общее поле близ плоскости было бы суммой (5.3) и поля прочих зарядов. Закон Гаусса тогда только гарантировал бы, что

(5.4)

где E₁ и Е₂ — поля, направленные на каждой стороне плоскости наружу от нее.

Задача о двух параллельных плоскостях с равными и противоположными плотностями зарядов +σ и -σ решается тоже просто, если только снова предположить, что внешний мир абсолютно симметричен. Составите ли вы суперпозицию двух решений для отдельных плоскостей или построите гауссов ящик, охватывающий обе плоскости, в обоих случаях легко видеть, что поле снаружи плоскостей равно нулю (фиг. 5.7, а). Но, заключив в ящик только одну или только другую поверхность, как показано на фиг. 5.7, б или в

, мы легко обнаружим, что поле между плоскостями должно быть вдвое больше поля отдельной плоскости.

Фиг. 5.7. Поле между двумя заряженными листами равно σ/ε₀.

Итог таков:

(5.5)

(5.6)

§ 7. Однородно заряженный шар; заряженная сфера

В гл. 4 мы уже применяли закон Гаусса, когда должны были найти поле вне однородно заряженной шаровой области. Тот же метод может дать нам и поле в точках внутри шара. Этот расчет, например, может быть использован для получения хорошего приближения к полю внутри атомного ядра. Вопреки тому, что протоны в ядре взаимно отталкиваются, они из-за сильного ядерного притяжения распределены по всему ядру почти однородно.