Том 2. Электромагнетизм и материя

Важнее, пожалуй, диполи атомные. Если в каком-то веществе есть электрическое поле, то электроны и протоны испытывают влияние противоположных сил и смещаются друг относительно друга. Вы помните, что в проводнике некоторые электроны сдвигаются к поверхности, так что внутреннее поле обращается в нуль. В изоляторе электроны не могут сильно разойтись; им мешает притяжение ядра. И все же они как-то смещаются. Так что хотя атом (или молекула) и остается нейтральным, во внешнем электрическом поле все же возникает еле заметное разделение положительных и отрицательных зарядов, и атом становится микроскопическим диполем. Если нам нужно знать поле этих атомных диполей поблизости от предмета обычных размеров, то мы имеем дело с расстояниями, большими по сравнению с промежутками между зарядами.

В некоторых молекулах из-за самой их формы заряды несколько разделены даже в отсутствие внешних полей. В молекуле воды, например, имеется отрицательный заряд на атоме кислорода и положительный заряд на обоих атомах водорода, которые расположены несимметрично (фиг. 6.2).

Фиг. 6.2. Молекула воды Н₂O.

Хоть заряд всей молекулы равен нулю, все же имеется распределение заряда с небольшим преобладанием отрицательного заряда на одной стороне и положительного на другой. Это расположение, конечно, не такое простое, как у двух точечных зарядов, но если смотреть на него издалека, оно действует как диполь. Как мы увидим чуть позже, поле на больших расстояниях нечувствительно к мелким деталям расположения.

Взглянем теперь на поле двух зарядов противоположных знаков, расстояние d между которыми мало. Если d станет нулем, два заряда сойдутся в одном месте, два потенциала сократятся, поле исчезнет. Но если они не совсем слились, то можно получить хорошее приближение к потенциалу, разложив слагаемые в (6.8) в ряд по степеням малой величины d (по формуле бинома Ньютона). Оставляя только первые степени d, мы напишем

Удобно обозначить

Тогда

и

Разлагая в биномиальный ряд [1-(zd/r²)]^-1/2 и отбрасывая члены с высшими степенями d, мы получаем

Подобно этому, и

Вычитая эти два члена, имеем для потенциала

(6.9)

Потенциал, а значит, и поле, являющееся его производной, пропорциональны qd — произведению заряда на расстояния между зарядами. Это произведение называется дипольным моментом пары зарядов, и мы обозначим его символом р

(не путайте с импульсом!):

(6.10)

Уравнение (6.9) можно также записать в виде

(6.11)

так как z/r=cosθ, где θ — угол между осью диполя и радиус-вектором к точке (х, у, z) (см. фиг. 6.1). Потенциал диполя убывает как 1/r² при фиксированном направлении (а у точечного заряда он убывает как 1/r). Электрическое поле Е диполя поэтому убывает как 1/r³.

Мы можем записать нашу формулу и в векторном виде, если определим р, как вектор, абсолютная величина которого равна р, а направление выбрано вдоль оси диполя от q_- к q

₊. Тогда

(6.12)

где е_r— единичный радиальный вектор (фиг. 6.3).

Фиг. 6.3. Векторные обозначения, для диполя.

Кроме того, точку (x, y, z) можно обозначить буквой r. Итак,

Дипольный потенциал:

(6.13)

Эта формула справедлива для диполя произвольной ориентации и положения, если r — вектор, направленный от диполя к интересующей нас точке.

Если нас интересует электрическое поле диполя, то нужно взять градиент φ. Например, z-компонента поля есть -∂φ/∂z. Для диполя, ориентированного вдоль оси z, мы можем использовать (6.9):

или

(6.14)

А х- и y-компоненты равны

Из этих двух компонент можно составить компоненту, перпендикулярную к оси z, которая называется поперечной компонентой E_┴:

или

(6.15)

Поперечная компонента Е_┴ лежит в плоскости ху и направлена прямо от оси диполя. Полное поле, конечно, равно

Поле диполя меняется обратно пропорционально кубу расстояния от диполя. На оси при θ=0 оно вдвое сильнее, чем при θ=90°. При обоих этих углах электрическое поле обладает только z-компонентой. Знаки ее при я=0 и при z=90° противоположны (фиг. 6.4).

Фиг. 6.4. Электрическое поле диполя.

§ 3. Замечания о векторных уравнениях