Том 22. Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы

Гениальная идея Тьюринга, позволившая определить границы возможностей компьютеров будущего, заключалась в том, чтобы со всей серьезностью обдумать, что означает «мыслить как машина». Очевидно, что компьютер не обладает ни разумом, ни воображением человека, которые позволяют нам действовать в совершенно незнакомых ситуациях. С другой стороны, машины не устают и не скучают, выполняя трудоемкие вычисления, у них никогда не бывает «плохих дней». Они — машины! Чтобы отличить задачи, которые компьютер не способен решить ввиду технических ограничений (например, потому что время выполнения написанной программы будет сопоставимо с возрастом вселенной), от тех, которые неразрешимы из-за особенностей формулировки самой задачи, Тьюринг описал идеальный компьютер с бесконечным объемом памяти и бесконечным временем выполнения программ. Задача, которую не могла решить эта машина Тьюринга, не поддалась бы самому мощному компьютеру будущего, таким образом, метод, разработанный английским математиком, позволял определить границы возможностей компьютеров.

Вверху — памятная марка, выпущенная в честь столетия со дня рождения Чарльза Бэббиджа. Внизу — табличка у садов Барселоны, посвященных 

Аде Байрон

_{(фото: Анна Наварро Дюран).}

* * *

ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ

В одной из известнейших историй о Карле Фридрихе Гауссе рассказывается, что как-то раз его учитель в начальной школе захотел немного передохнуть и дал ученикам задание сложить все числа от 1 до 100. Учитель не рассчитывал, что юный Гаусс мгновенно найдет ответ, применив метод, который он затем использовал для вычисления суммы чисел от 1 до 1000. Пусть нужно найти сумму всех натуральных чисел, предшествующих числу n. Идея Гаусса заключалась в том, чтобы записать сумму 1 + 2 + … + n

в обратном порядке и воспользоваться симметрией ее членов так, как показано ниже:

Читатель легко может убедиться, что если сгруппировать каждое слагаемое с тем, что записано под ним, их сумма всегда будет равна n + 1. Так как этот процесс повторяется n раз, результатом сложения будет n(n + 1). Однако в этой сумме каждое число учитывается дважды: один раз — в первом ряду, один раз — во втором. Следовательно, полученную сумму нужно разделить на два:

Читатель спросит, сможем ли мы, заменив первые n чисел на первые n квадратов, получить похожую формулу. Применив несколько более сложный метод, можно доказать, что

и что сумма первых n кубов рассчитывается по формуле

В общем случае, k-е число Бернулли связано с коэффициентами, которые появляются в формуле суммы n первых степеней многочлена k-го порядка от переменной n. Этим числам легко дать словесное определение, но сложно вычислить по формуле, поэтому алгоритм, разработанный Адой Байрон, стал огромным шагом вперед.

* * *

Вычислимые функции