Том 22. Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы

СТИРАЛЬНЫЕ МАШИНЫ С НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКОЙ

Чтобы оптимизировать длительность и качество стирки, полезно точно указать, является одежда очень грязной, слегка грязной или практически чистой. Простейшие стиральные машины с нечеткой логикой присваивают каждой загрузке белья значение загрязнения от 0 до 1. Затем к фиксированному интервалу стирки продолжительностью в десять минут добавляется определенное время в зависимости от степени загрязнения одежды. Машина может, например, определить, что для чистого белья (0) достаточно базового времени стирки, а для очень грязного (1) — на две минуты больше. Следовательно, если мы положим в стиральную машину слегка грязную рубашку, продолжительность стирки увеличится на одну минуту. В других, более сложных моделях, с целью экономии электроэнергии учитывается степень жирности (жирные пятна отстирываются тяжелее других) и вес загруженного белья.

* * *

Сложность

«Любовь» и «справедливость» — слишком расплывчатые понятия, чтобы их можно было описать двоичной логикой. Множество оттенков серого, простирающееся между «он меня любит» и «он меня не любит», между виной и невиновностью, описывается нечеткой логикой. С ростом сложности возникает потребность в новом мышлении. Следовательно, полезно ввести оценку сложности понятий, однако само понятие «сложность» не поддается попыткам дать ему определение. Даже в царстве математики, где правит абсолютная точность, нельзя однозначно отделить сложные проблемы от простых. Именно это происходит и с машинами Тьюринга: если в прошлой главе работа с идеальными компьютерами позволила нам получить теоретические результаты, касающиеся проблем, которые не может решить машина, то теперь нас интересует, какие расчеты она может провести с учетом ограничений в объеме памяти и времени выполнения программ. Именно так, за неимением лучшего определения, мы будем отличать простые задачи от сложных.

В первом приближении мы можем определить сложность как число операций, необходимых для решения задачи. Представим коммивояжера, которому нужно посетить несколько городов, после чего вернуться в исходный. Следовательно, его целью будет максимально сократить пройденный путь. Если этими городами будут, например, Париж (П), Лондон (Л), Берлин (Б) и Рим (Р) и коммивояжер начинает поездку в Париже, то его секретарь может составить расписание шестью разными способами: ПЛБРП, ПЛРБП, ПБЛРП, ПБРЛП, ПРБЛП и ПРЛБП. Учитывая примерные расстояния Париж — Лондон (455 км), Париж — Берлин (1050 км), Париж — Рим (1435 км), Лондон — Берлин (1095 км), Лондон — Рим (1855 км) и Берлин — Рим (1515 км), можно рассчитать общую длину каждого маршрута и выбрать кратчайший из них:

Учитывая данные, представленные в таблице, оптимальным будет маршрут Париж — Лондон — Берлин — Рим — Париж или он же, но в обратном направлении: Париж — Рим — Берлин — Лондон — Париж. Но что произойдет, если коммивояжеру нужно будет посетить не три города, а четыре, пять или любое другое количество городов? Для решения этой задачи всего для двадцати городов компьютеру средней производительности потребуется 80 тысяч лет, и в свете этого возможная потеря времени от неправильного выбора маршрута уже несущественна.

Если мы попытаемся решить задачу «грубой силой», то потребуется рассмотреть уже не шесть случаев — их число будет равно произведению 1·2·3· … и т. д. до 20. Запись этого числа содержит девятнадцать цифр. В математике это число называется 20 факториал и обозначается восклицательным знаком после числа. Так, 3! = 1·2·3 = 6; 4! = 1·2·3·4 = 24; в общем случае n! равен произведению первых n натуральных чисел.