Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Если рассматривать телесный угол как потенциал магнитной оболочки, край которой совпадает с замкнутой кривой и мощность которой равна единице, мы должны определить этот угол как работу, совершаемую единичным магнитным полюсом против магнитной силы при его перемещении из бесконечности в точку P. Следовательно, потенциал должен быть результатом криволинейного интегрирования вдоль пути , по которому полюс приближается к точке P. Но он также должен быть результатом криволинейного интегрирования по замкнутой кривой s. Поэтому соответствующее выражение для телесного угла должно иметь вид двойного интеграла по двум кривым s и .

Когда точка P находится на бесконечном расстоянии, телесный угол, очевидно, равен нулю. По мере приближения точки P замкнутая кривая, если смотреть на неё из движущейся точки, будет казаться раскрывающейся, и можно представлять себе, что полный телесный угол образуется в результате кажущегося перемещения различных элементов замкнутой кривой по мере приближения к ней движущейся точки P.

Рис. 3

При движении точки P от P к P' вдоль элемента d элемент замкнутой кривой QQ', который мы обозначим через d, будет изменять своё положение относительно P, и линия на единичной сфере, соответствующая QQ', прочертит на сферической поверхности некоторую площадь, которую можно записать так [рис. 3]:

d

=

ds

d

.

(1)

Чтобы найти , предположим, что точка P неподвижна, а замкнутая кривая перемещается параллельно самой себе на расстояние d, равное PP', но в противоположном направлении. При этом относительное движение точки P будет таким же, как и в действительности.

Во время этого движения элемент QQ' прочертит площадь в виде параллелограмма, стороны которого параллельны и равны QQ' и PP'. Если, взяв этот параллелограмм в качестве основания, построить пирамиду с вершиной в точке P, то телесный угол этой пирамиды будет равен искомому приращению d.

Для того чтобы определить значение этого телесного угла, обозначим через и ' углы, которые образуют соответственно ds и d с PQ, через - угол между плоскостями этих углов. Тогда площадь проекции параллелограмма dsd на плоскость, перпендикулярную PQ или r, будет равна dsd sin sin ' sin , и, поскольку она равна r^2d, находим

d

=

ds

d

=

1

r^2

sin sin ' sin

dsd

.

(2)

Откуда

=

1

r^2

sin sin ' sin

dsd

.

(3)

420. Мы можем выразить углы , ' и через r и его производные по s и :

cos

=

dr

ds

,

cos '

=

dr

d

,

sin

sin '

cos

=

r

d^2r

dsd

.

(4)

Для ^2 таким образом, находим следующее выражение:

^2

=

1

r⁴

1

-

dr

dr

^2

1

-

dr

d

^2

-

1

r^2

d^2r

dsd

^2

.

(5)

Третье выражение для через прямоугольные координаты можно вывести, исходя из того соображения, что объём пирамиды с телесным углом d и стороной r равен

1

3

r^3

d

=

1

3

r^3

ds

d

.

Но объём этой же пирамиды можно выразить также через проекции r, ds и d на оси x, y, и z он равен одной трети детерминанта, образованного из этих девяти проекций. Таким образом, для значения находим

-x,

-y,

-z,

=

-

1

r^3

d

d

,

d

d

,

d

d

dx

ds

,

dy

ds

,

dz

ds

.

(6)

Это выражение даёт значение , лишённое неоднозначности в выборе знака, внесённой уравнением (5).

421. Теперь для телесного угла с вершиной в точке P, опирающегося на замкнутую кривую, можно записать

=

ds

d

+

₀

,

(7)

где интегрирование по s производится по всей замкнутой кривой, а по - от некоторой фиксированной точки A до точки P. Константа ₀ равна значению телесного угла в точке A. Она обращается в нуль, если точка A находится на бесконечном расстоянии от замкнутой кривой.

Значение в произвольной точке P не зависит от формы кривой между точками A и P при условии, что эта кривая не проходит через саму магнитную оболочку. Если оболочка предполагается бесконечно тонкой, а точки P и P' расположенными рядом, но P - на положительной стороне оболочки, а P' - на отрицательной, то кривые AP и AP' должны лежать по разные стороны от края оболочки, так что линия PAP' вместе с бесконечно короткой линией PP' образует замкнутый контур, охватывающий край оболочки. Значение в точке P превышает значение в точке P' на 4, т.е. на величину поверхности сферы единичного радиуса.

Поэтому, если замкнутая кривая проведена так, что она проходит сквозь оболочку один раз, или, другими словами, является однократно сцепленной с её краем, то значение интеграла dsd, взятого по обеим замкнутым кривым, равно 4.

Следовательно, этот интеграл, зависящий только от замкнутой кривой s и произвольной кривой AP, является примером многозначной функции, так как, если переходить из A в P различными путями, интеграл будет принимать различные значения в соответствии с тем, сколько раз кривая AP обернётся вокруг кривой s.

Если одна кривая между точками A и P может быть трансформирована в другую непрерывным её перемещением без пересечения кривой s, то интеграл будет иметь одинаковые значения для обеих кривых; если же в процессе трансформации она пересечёт замкнутую кривую n раз, значения интеграла будут отличаться на 4n.