Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Таким образом, для двух произвольных замкнутых в пространстве кривых s и , не сцепленных друг с другом, интеграл, взятый однократно по обеим кривым, равен нулю.

Если же кривые охватывают друг друга n раз в одном и том же направлении, значение интеграла равно 4n. Возможно, однако, что две кривые охватывают друг друга попеременно в противоположных направлениях, оставаясь неразделимо сцепленными друг с другом при равном нулю значении интеграла, см. рис. 4.

Рис. 4

Открытие Гауссом этого интеграла, выражающего работу, совершаемую магнитным полюсом при его движении по замкнутой кривой в присутствии замкнутого электрического тока, и характеризующего геометрическую связанность двух замкнутых кривых, побудило его сетовать на слабое развитие Геометрии Положений (топологии) со времён Лейбница, Эйлера и Вандермонда. Сейчас, однако, мы уже можем говорить о некотором прогрессе, обязанном Риману, Гельмгольцу и Листингу.

422. Исследуем теперь результат интегрирования по s вдоль замкнутой кривой.

Один из членов, определяющих в уравнении (7), равен

-

-x

r^3

d

d

dz

ds

=

d

d

d

d

1

r

dz

ds

.

(8)

Для краткости запишем

F

=

1

r

dx

ds

ds

,

G

=

1

r

dy

ds

ds

,

H

=

1

r

dz

ds

ds

,

(9)

где интегралы берутся однократно по замкнутой кривой s; тогда этот член в выражении для можно представить в виде

d

d

d^2H

dds

,

а соответствующий ему член в ds будет

d

d

dH

d

.

Собрав все члены, входящие в , мы можем теперь записать

-

d

d

=

-

ds

=

 =

dH

d

-

dG

d

d

d

+

dF

d

-

dH

d

d

d

+

dG

d

-

dF

d

d

d

.

(10)

Эта величина является, очевидно, скоростью уменьшения магнитного потенциала при прохождении вдоль кривой , или, другими словами, она представляет собой магнитную силу в направлении d.

Полагая элемент d поочерёдно направленным вдоль осей x, y и z, для значений составляющих магнитной силы получим

=-

d

d

=

dH

d

-

dG

d

,

=-

d

d

=

dF

d

-

dH

d

,

=-

d

d

=

dG

d

-

dF

d

.

(11)

Величины F, G, H являются составляющими вектор-потенциала магнитной оболочки единичной мощности, краем которой служит кривая s. В отличие от скалярного потенциала , они не относятся к функциям, принимающим целый ряд значений, а являются совершенно определёнными для каждой точки пространства.

Вектор-потенциал, создаваемый в точке P магнитной оболочкой, ограниченной замкнутой кривой, можно найти путём следующих геометрических построений.

Пусть точка Q движется вдоль замкнутой кривой со скоростью, численно равной её расстоянию от точки P, а вторая точка R выходит из некоторой фиксированной точки A и движется с единичной скоростью в направлении, всюду параллельном направлению движения Q. Когда точка Q обойдёт один раз замкнутую кривую, соединим точки A и R отрезком прямой. Отрезок AR по направлению и по величине представляет собой вектор-потенциал, создаваемый замкнутой кривой в точке P.

Потенциальная энергия магнитной оболочки, помещённой в магнитное поле

423. Мы уже показали в п. 410, что потенциальная энергия оболочки с мощностью , помещённой в магнитное поле с потенциалом V, равна

M

=

l

dV

dx

+

m

dV

dy

+

m

dV

dz

dS

,

(12)

где l, m, n - направляющие косинусы внешней нормали к оболочке, проведённой наружу с положительной стороны; поверхностный интеграл берётся по всей оболочке.

Этот поверхностный интеграл можно теперь преобразовать в криволинейный с помощью вектор-потенциала магнитного поля, записав

M

=

-

F

dx

ds

+

G

dy

ds

+

H

dz

ds

ds

,

(13)

где интегрирование производится однократно по замкнутой кривой s, ограничивающей магнитную оболочку, а ds направлено против часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оболочки.

Если предположить теперь, что магнитное поле создаётся второй магнитной оболочкой, имеющей мощность ', то можно определить величину F непосредственно из результатов п. 416 или из п. 405. Если l', m', n' - направляющие косинусы нормали к элементу второй оболочки, то мы имеем

F

=

'

m'

d

dz'

1

r

-

n'

d

dy'

1

r

dS'

,

где d - расстояние между элементом dS' и точкой на границе первой оболочки.

Далее этот поверхностный интеграл также можно преобразовать в криволинейный, взятый по границе второй оболочки, а именно

'

1

r

dx'

ds'

ds'

.

(14)

Аналогично

G

=

'

1

r

dy'

ds'

ds'

,

H

=

'

1

r

dz'

ds'

ds'

.

Подставляя эти величины в выражение для M, находим

M

=

-'

1

r

dx

ds

dx'

ds'

+

dy

ds

dy'

ds'

+

dz

ds

dz'

ds'

ds

ds'

,

(15)

где интегрирование выполняется однократно по кривой s и однократно по s'. Это выражение даёт потенциальную энергию, обусловленную взаимодействием двух оболочек, и, как это и должно быть, оно не изменяется от перестановки s и s'. Взятое с обратным знаком при мощности обеих оболочек, равной единице, это выражение называется потенциалом двух замкнутых кривых s и s'. Оно имеет большое значение в теории электрических токов. Если обозначить через угол между направлениями элементов ds и ds', можно записать потенциал s и s' в виде

cos

r

ds

ds'

.

(16)

Очевидно, что эта величина имеет размерность длины.

ГЛАВА IV

ИНДУЦИРОВАННАЯ НАМАГНИЧЕННОСТЬ