Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

и для значения M можно написать M=-N.

Если x₁ представляет собой какое-нибудь смещение оболочки, а X₁ - действующую на неё и способствующую этому смещению силу, то согласно принципу сохранения энергии

X

₁

x

₁

+

M

=

0

, или

X

₁

=

dN

dx₁

.

Мы определили сейчас характер силы, соответствующей какому-либо заданному смещению оболочки: эта сила либо способствует смещению, либо противодействует ему в зависимости от того, увеличивает или уменьшает она число линий индукции N, проходящих через оболочку.

То же самое справедливо и для эквивалентного электрического контура. Любому смещению контура будет оказано содействие или сопротивление в зависимости от того, увеличивает или уменьшает это смещение число линий индукции, проходящих сквозь контур в положительном направлении.

Мы должны помнить, что положительным направлением линии магнитной индукции является то направление, по которому вдоль линии стремится двигаться полюс магнита, указывающий на север, и что линия индукции проходит сквозь контур в положительном направлении тогда, когда её направление относится к направлению тока стекловидного электричества в контуре так же, как продольное движение правого винта относится к его вращательному движению (см. п. 23).

490. Очевидно, что сила, соответствующая произвольному смещению контура как целого, может быть сразу выведена из теории магнитной оболочки. Но это ещё не всё. Если какой-либо участок контура является гибким и способным смещаться независимо от остальных, то путём разрезания поверхности оболочки на достаточное количество частей, связанных между собой гибкими соединениями, мы можем сделать также и край оболочки способным к такого же рода смещению. Отсюда мы заключаем, что если путём смещения какого-либо участка контура в заданном направлении число линий индукции, проходящих сквозь контур, может быть увеличено, то действующая на контур электромагнитная сила будет способствовать этому смещению.

Поэтому на любой участок контура действует сила, заставляющая его двигаться поперёк линий магнитной индукции так, чтобы вобрать в обхват контура как можно большее количество этих линий; работа, совершенная силой за время этого смещения, численно равна количеству добавленных линий индукции, умноженному на силу тока.

Пусть элемент ds контура, по которому протекает ток силы i, перемещён параллельно самому себе на расстояние x, при этом движении он заметёт площадь в виде параллелограмма, стороны которого параллельны и равны соответственно ds, x.

Если обозначить магнитную индукцию через B и считать, что её направление составляет угол с нормалью к параллелограмму, то величина прироста N, соответствующего смещению, находится путём умножения площади параллелограмма на Bcos Результат этой операции представляется геометрически объёмом параллелепипеда, ребра которого по величине и направлению соответствуют x, ds и B.

Объём должен считаться положительным, если какая-нибудь стрелка, направляемая последовательно в этих трёх направлениях, будет перемещаться вокруг диагонали параллелепипеда в направлении движения стрелок часов. Объём этого параллелепипеда равен Xx.

Если есть угол между ds и B, то площадь параллелограмма со сторонами ds и B равна ds·B sin . Пусть есть угол, образуемый смещением x с нормалью к этому параллелограмму, тогда объём параллелепипеда равен

ds

·

B sin

·

x

cos

=

N

.

Теперь

Xx

=

iN

=

i

ds

·

B sin

x

cos

и

X

=

i

ds

·

B sin

cos

.

Это есть действующая на ds сила, спроектированная на направление x.

Таким образом, направление этой силы перпендикулярно к параллелограмму, а её величина равна i·ds·B sin .

Это есть площадь параллелограмма, стороны которого и по величине, и по направлению соответствуют ids и B. Следовательно, действующая на ds сила по своей величине представлена площадью этого параллелограмма, а по своему направлению - нормалью к его плоскости, проведённой в направлении поступательного движения винта с правой нарезкой, рукоятка которого поворачивается от направления тока ids к направлению магнитной индукции B.

Мы можем выразить и направление, и величину этой силы на языке кватернионов, сказав, что это есть векторная часть результата умножения вектора элемента тока ids на вектор магнитной индукции B [рис. 22].

Рис. 22

491. Таким образом, мы полностью определили силу, действующую на любой участок электрического контура, помещённого в магнитное поле. Если контур двигается произвольным способом, но так, что, перебрав различные формы и положения, он возвращается в исходное место, а сила тока за время движения сохраняется постоянной, то общее количество работы, совершаемой электромагнитными силами, будет равно нулю. Так как это справедливо для любого цикла движения контура, то отсюда следует, что при помощи электромагнитных сил невозможно, преодолевая сопротивление трения и т. п., поддерживать непрерывное вращательное движение какой-либо части линейного контура с постоянной силой тока.