Трактат об электричестве и магнетизме

308. Мы теперь применим тот же метод, для того чтобы найти поправку, которую следует внести на длину цилиндрического проводника радиуса 𝑎, когда его конец находится в металлическом контакте с массивным электродом, который можно предполагать сделанным из другого металла.

Для нижней границы сопротивления мы предположим, что между концом цилиндра и массивным электродом помещён бесконечно тонкий диск из идеально проводящего вещества, так что конец цилиндра всюду имеет один и тот же потенциал. Тогда потенциал внутри цилиндра будет зависеть только от его длины, и если мы предполагаем, что поверхность электрода там, где она встречается с цилиндром, является приблизительно плоской и что все размеры электрода велики в сравнении с диаметром цилиндра, то распределение потенциала будет таким, как у проводника, имеющего форму диска и помещённого в бесконечную среду (см. п. 151, 177).

Если 𝐸 - разность между потенциалом диска и потенциалом удалённых частей электрода, 𝐶 - ток, выходящий с поверхности диска в электрод, и ρ' - удельное сопротивление электрода и если 𝑄 - количество электричества на диске, которое мы предполагаем распределённым как в п. 151, то легко видеть, что интеграл от электродвижущей напряжённости по диску равен

ρ'𝐶

=

1

4

4π𝑄

=

2π

𝑎𝐸

(π/2)

, в силу п. 151,

=

4𝑎𝐸.

(18)

Таким образом, если длина провода от заданной точки до электрода равна 𝐿 и его удельное сопротивление равно ρ, то сопротивление от этой точки до любой точки электрода, не близкой к месту соединения, выражается формулой

𝑅

=

ρ

𝐿

π𝑎²

+

ρ

4𝑎

,

и это можно записать так:

𝑅

=

ρ

π𝑎²

⎛

⎜

⎝

𝐿

+

ρ'

ρ

⋅

π𝑎

4

⎞

⎟

⎠

,

(19)

где второй член в скобках даёт величину, которую нужно добавить к длине цилиндра при вычислении его сопротивления, и это, конечно, слишком малая поправка.

Чтобы понять природу допускаемой, возможно, ошибки, мы можем заметить, что в то время как мы считали ток в проводе по направлению к диску однородным по сечению, ток от диска к электроду не является однородным, но в любой точке обратно пропорционален (п. 151) минимальной хорде, проведённой через эту точку. В действительности ток через диск не будет однородным, но он и не будет так сильно меняться от точки к точке, как в этом предполагаемом случае. Потенциал диска в действительности не будет однородным, но будет падать от середины к краям.

309. Мы теперь определим величину, превышающую истинное сопротивление, наложив требование, чтобы ток через диск был однороден в каждой точке. Мы можем предполагать, что электродвижущие силы, вводимые для этого, действуют перпендикулярно поверхности диска.

Сопротивление самой проволоки будет таким же, как и раньше, но в электроде скорость выделения тепла будет равна поверхностному интегралу от произведения тока на потенциал. Значение тока в любой точке равно 𝐶/(π𝑎²), а потенциал будет такой же, как у наэлектризованной поверхности с плотностью заряда σ, где

2πσ

=

𝐶ρ'

π𝑎²

,

(20)

а ρ' - удельное сопротивление.

Следовательно, нам нужно определить потенциальную энергию электризации диска с однородной поверхностной плотностью σ.

Потенциал ⁵ на краю диска с однородной плотностью σ легко определяется и равен 4𝑎σ. Работа, совершаемая при добавлении полоски шириной 𝑑𝑎 вдоль окружности диска, равна 2π𝑎σ𝑑𝑎⋅4𝑎σ, а полная потенциальная энергия диска есть интеграл от этой величины,

или 𝑃

=

8π

3

𝑎³

σ²

.

(21)

⁵ См. работу профессора Кэйли (Cayley), London, Math. Soc. Proc., VI, p. 38.

При прохождении электрического тока скорость, с которой совершается работа в электроде с сопротивлением 𝑅' равна 𝐶𝑅'. Но, согласно общему уравнению, определяющему процесс прохождения тока, величина тока через диск на единицу площади записывается в виде -(1/ρ')(𝑑𝑉/𝑑ν) или (2π/ρ')σ.

-

1

ρ'

𝑑𝑉

𝑑ν

 или

2π

ρ'

σ

.

Если 𝑉 - потенциал на диске, а 𝑑𝑠 - элемент его поверхности, то скорость совершения работы равна

=

𝐶

π𝑎²

∫

𝑉

𝑑𝑠

=

2𝐶

π𝑎²

𝑃

σ

, поскольку 𝑃

=

1

2

∫

𝑉σ

𝑑𝑠

,

=

4π

ρ'

𝑃 (по формуле(20))

.

Таким образом, мы получаем

𝐶²

𝑅'

=

4π

ρ'

𝑃

,

(22)

откуда с учётом (20) и (21)

𝑅'

=

8ρ'

3π²𝑎

,

и поправка, которую нужно добавить к длине цилиндра, равна

ρ'

ρ

8

3π

𝑎

,

причём это значение поправки превышает истинное значение. Таким образом, истинная поправка, которую нужно добавить к длине, равна (ρ'/ρ)𝑎𝑛, где 𝑛 - число, лежащее между π/4 и 8/3π или между 0,785 и 0,849.

Лорд Рэлей ⁶ во втором приближении уменьшил верхний предел для 𝑛 до 0,8282.

⁶Phil. Mag., Nov., 1872, р. 344. В дальнейшем лорд Рэлей получил для верхнего предела значение 0,8242. См. London Math. Soc. Proc., VII, p. 74; также Theory of Sound, vol. II, Appendix A, p. 291 (имеется перевод на русский язык: Рэлей «Теория звука». М.: ГИТТЛ, 1965. Т. II. С. 468.- Примеч. пёр.).

ГЛАВА IX

ПРОХОЖДЕНИЕ ЭЛЕКТИЧЕСТВА ЧЕРЕЗ НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ

Об условиях, которые должны выполняться на поверхности раздела между двумя проводящими средами