Трактат об электричестве и магнетизме

Тогда для 𝐴₃ и 𝐵₃, коэффициентов во внешней среде, мы находим

𝐴

₃

𝑘

₁

𝑘

₂

(2𝑖+1)²

=

⎡

⎢

⎣

{𝑘

₁

(𝑖+1)+𝑘

₂

𝑖}

{𝑘

₂

(𝑖+1)+𝑘

₃

𝑖}

+

+

𝑖(𝑖+1)

(𝑘

₁

-𝑘

₂

)

(𝑘

₂

-𝑘

₃

)

⎛

⎜

⎝

𝑎₁

𝑎₂

⎞2𝑖+1

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

𝐴

₁

,

𝐵

₃

𝑘

₁

𝑘

₂

(2𝑖+1)²

=

⎡

⎣

𝑖(𝑘

₂

-𝑘

₃

)

{𝑘

₁

(𝑖+1)+𝑘

₂

𝑖}

𝑎

₂

^2𝑖+1

+

+

𝑖(𝑘

₁

-𝑘

₂

)

{𝑘

₂

𝑖+𝑘

₃

(𝑖+1)}

𝑎

₁

^2𝑖+1

⎤

⎦

𝐴

₁

.

⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

⎬

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

(6)

Значение потенциала во внешней среде частично зависит от внешних источников электричества, которые производят токи независимо от наличия сферы с неоднородным заполнением, а частично от возмущения, вызванного введением неоднородной сферы.

Первая часть должна зависеть от пространственных гармоник только положительных степеней, потому что она не может принимать бесконечных значений внутри сферы. Вторая часть должна зависеть от гармоник отрицательных степеней, потому что она должна исчезать на бесконечном расстоянии от центра сферы.

Таким образом, потенциал, вызванный внешними электродвижущими силами, должен разлагаться в ряд по пространственным гармоникам положительной степени. Пусть 𝐴₃ - коэффициент одной из этих гармоник, имеющей вид 𝐴₃𝑆_𝑖𝑟^𝑖

. Тогда с помощью соотношения (6) мы можем найти соответствующий коэффициент 𝐴₁ для внутренней сферы и отсюда вывести 𝐴₂, 𝐵₂ и 𝐶₃. При этом 𝐶₃ представляет влияние на потенциал во внешней среде, вызванное введением неоднородной сферы.

Предположим теперь, что 𝑘₃=𝑘₁, т.е. рассмотрим случай полой оболочки, для которой 𝑘=𝑘₂, разделяющей внутреннюю и внешнюю части среды, для которой 𝑘=𝑘₁.

Если мы положим

𝐶

=

1

,

(2𝑖+1)²𝑘

₁

𝑘

₂

+

𝑖(𝑖+1)(𝑘

₂

-𝑘

₁

)²

⎛

⎜

⎝

1-

⎛

⎜

⎝

𝑎

₁

⎞

⎟

⎠

2𝑖+1

⎞

⎟

⎠

𝑎

₂

то

𝐴

₁

=

𝑘

₁

𝑘

₂

(2𝑖+1)²

𝐶𝐴

₃

,

𝐴

₂

=

𝑘

₂

(2𝑖+1)

(𝑘

₁

(𝑖+1)+𝑘

₂

𝑖)

𝐶𝐴

₃

,

𝐵

₂

=

𝑘

₂

𝑖

(2𝑖+1)

(𝑘

₁

-𝑘

₂

)

𝑎

₁

^2𝑖+1

𝐶𝐴

₃

,

𝐵

₃

=

𝑖(𝑘

₂

-𝑘

₁

)

(𝑘

₁

(𝑖+1)+𝑘

₂

𝑖)

(𝑎

₂

^2𝑖+1

-𝑎

₁

^2𝑖+1

)

𝐶𝐴

₃

.

⎫

⎪

⎪

⎬

⎪

⎪

⎭

(7)

Разность между невозмущённым коэффициентом 𝐴₃ и его значением 𝐴₁ в полости внутри сферической оболочки равна

𝐴

₃

-𝐴

₁

=

(𝑘

₂

-𝑘

₁

)²

𝑖(𝑖+1)

⎛

⎜

⎝

1-

⎛

⎜

⎝

𝑎₁

𝑎₂

⎞2𝑖+1

⎟

⎠

⎞

⎟

⎠

𝐶𝐴

₃

.

(8)

Поскольку эта величина всегда имеет тот же самый знак, что и 𝐴₃, каковы бы ни были значения 𝑘₁ и 𝑘₂, отсюда следует, что независимо от того, лучше или хуже остальной среды проводит сферическая оболочка, электрическое действие в пространстве, окружённом оболочкой, оказывается меньше, чем оно было бы без неё. Если оболочка оказывается лучшим проводником, чем остальная среда, она стремится выровнять потенциал вокруг внутренней сферы. Если она является худшим проводником, она вообще препятствует электрическим токам достичь внутренней сферы.

Случай сплошной сферы может быть получен из рассмотренного выше, если положить 𝑎₁=0, или же этот случай может быть рассмотрен независимо.

313. Наиболее важным членом в разложении по гармоникам является член с 𝑖=1, для которого

𝐶

=

1

,

9𝑘

₁

𝑘

₂

+

2(𝑘

₂

-𝑘

₁

)²

⎛

⎜

⎝

1-

⎛

⎜

⎝

𝑎

₁

⎞

⎟

⎠

3

⎞

⎟

⎠

𝑎

₁

𝐴

₁

=

9𝑘

₁

𝑘

₂

𝐶𝐴

₃

,

𝐴

₂

=

3𝑘

₂

(2𝑘

₁

+𝑘

₂

)

𝐶𝐴

₃

,

𝐵

₂

=

3𝑘

₂

(𝑘

₁

-𝑘

₂

)

𝑎

₁

³

𝐶𝐴

₃

,

𝐵

₃

=

(𝑘

₁

-𝑘

₂

)

(2𝑘

₁

+𝑘

₂

)

(𝑎

₂

³-𝑎

₁

³)

𝐶𝐴

₃

.

⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

⎬

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

(9)

Случай сплошной сферы с сопротивлением 𝑘₂ может быть получен отсюда, если положить 𝑎₁=0. Мы тогда получаем

𝐴

₂

=

3𝑘₂

𝑘₁+2𝑘₂

𝐴

₃

,

𝐵

₂

=

0,

𝐵

₃

=

𝑘₂-𝑘₁

𝑘₁+2𝑘₂

𝑎

₂

³

𝐴

₃

.

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

(10)

С помощью общих формул легко показать, что коэффициент 𝐵₃ в случае полой сферы, имеющей ядро с сопротивлением 𝑘₁ и окружённой оболочкой с сопротивлением 𝑘₂, записывается точно так же, как и в случае однородной сплошной сферы с радиусом внешней поверхности и с сопротивлением 𝐾 где

𝐾

=

(2𝑘₁+𝑘₂)𝑎₂³+(𝑘₁-𝑘₂)𝑎₁³

(2𝑘₁+𝑘₂)𝑎₂³-2(𝑘₁-𝑘₂)𝑎₁³

𝑘

₂

.

(11)

314. Если имеется 𝑛 сфер радиуса 𝑎₁ и сопротивления 𝑘₁ помещённые в среду, сопротивление которой равно 𝑘₂, на таких расстояниях друг от друга, что вызываемое каждой из сфер возмущение протекающего тока можно рассматривать независимо, если все эти сферы заключены внутри сферы радиуса 𝑎₂

, потенциал на больших расстояниях 𝑟 от центра этой сферы будет иметь вид

𝑉

=

⎛

⎜

⎝

𝐴𝑟

+

𝑛𝐵

1

𝑟²

⎞

⎟

⎠

cos θ

,

(12)

где значение 𝐵 равно

𝐵

=

𝑘₁-𝑘₂

2𝑘₁+𝑘₂

𝑎

₁

³

𝐴

.

(13)

Отношение объёма 𝑛 малых сфер к объёму содержащей их большой сферы равно

𝑝

=

𝑛𝑎₁³

𝑎₂³

.

(14)

Поэтому значение потенциала на большом расстоянии от сферы может быть записано в виде

𝑉

=

𝐴

⎛

⎜

⎝

𝑟

+

𝑝

𝑎

₂

³

𝑘₁-𝑘₂

2𝑘₁+𝑘₂

1

𝑟²

⎞

⎟

⎠

cos θ

.

(15)

Если бы вся сфера радиуса 𝑎₂ была сделана из вещества с удельным сопротивлением 𝐾, мы бы имели

𝑉

=

𝐴

⎧

⎨

⎩

𝑟

+

𝑎

₂

³

𝐾-𝑘₂

2𝐾+𝑘₂

1

𝑟²

⎫

⎬

⎭

cos θ

.

(16)

Одно выражение эквивалентно другому, если

𝐾

=

2𝑘₁+𝑘₂+𝑝(𝑘₁-𝑘₂)

2𝑘₁+𝑘₂-𝑝(𝑘₁-𝑘₂)

𝑘

₂

.

(17)

Это, таким образом, и есть удельное сопротивление составной среды, образованной из вещества с удельным сопротивлением 𝑘₂, в которое вкраплены малые сферы с удельным сопротивлением 𝑘₁ причём отношение суммарного объёма всех малых сфер ко всему объёму равно 𝑝. Для того чтобы действие этих сфер не вызывало явлений, зависящих от их взаимодействия, их радиусы должны быть малы в сравнении с расстояниями между ними, и поэтому величина 𝑝 должна быть малой дробью.

Этот результат может быть получен и другими способами, но тот, который приведён здесь, содержит только повторение результата, уже полученного для случая одной сферы.