Удивительные числа Вселенной. Путешествие за грань воображения

Я обещал вам больше бесконечностей, но, похоже, мы никак не можем пробиться через . Чтобы шагнуть дальше, нам сначала нужно определить некоторый порядок. До сих пор наши множества были организованы свободным образом. Например, мы говорили, что Beatles задаются множеством {Джон, Пол, Джордж, Ринго}; однако можно предположить, что их задает также и {Джон, Джордж, Пол, Ринго}. Никакой разницы, верно? Не обязательно. Все зависит от того, вводим ли мы какой-то порядок, придаем ли значение тому месту, где в множестве появляется каждый музыкант. В следующей версии множества – {Джон, Джордж, Пол, Ринго} – музыканты расположены в алфавитном порядке. Вы можете даже сказать, что и в первом варианте они были упорядочены – по таланту, хотя этот вопрос очень спорный (особенно для моей жены, которая утверждает, что Ринго – лучший, потому что он озвучивал мультфильм «Паровозик Томас»).

В тот момент, когда мы начинаем думать о порядке, мы меняем правила игры и числа могут приобретать дополнительный смысл. Рассмотрим число 4. Мы знаем, что можем думать о нем как о кардинальном числе, сообщающем нам, например, сколько было битлов. Однако мы также можем думать о нем как о ярлыке для четвертого места. В случае с Beatles мы могли бы напрямую связать его с Ринго, потому что он стоит четвертым по алфавиту. Когда мы делаем это, мы думаем о 4 как о порядковом числе (ординальном числе, или ординале): в этом случае нас заботит его положение на конвейерной ленте натуральных чисел. Разница между ординальными и кардинальными числами не особо важна, пока вы не выйдете за пределы царства конечности и не начнете играть с бесконечностью.

Удобный способ определить ординальное число – использовать множества. Мы касались этого в главе «Ноль». Мы начинаем с того, что под нулем подразумеваем пустое множество, единица – это множество, содержащее 0, двойка – множество, содержащее 0 и 1, тройка – {0, 1, 2} и т. д. На самом деле каждый ординал определяется как множество предшествующих ординалов, то есть n + 1 = {0, 1, 2, 3, …n}. Все это здорово, но как это приведет нас к бесконечности и дальше? Чтобы достичь бесконечности, нам нужно определить ординальное число, которое находится на один шаг дальше всех конечных ординалов. Для этого Кантору понадобились новое название и новый символ. Он черпал вдохновение в божественности своего поиска: «Я есмь Альфа и Омега».

Кардинальную бесконечность он обозначал алефом, а первой из его ординальных бесконечностей стала омега – ω. Если каждый конечный ординал определяется по правилу n + 1 = {0, 1, 2, 3, …n}, то естественно определить ω как бесконечный предел:

ω = {0, 1, 2, 3…}.

Иными словами, первая из наших ординальных бесконечностей есть не что иное, как множество натуральных чисел!

Берем еще выше.

Что идет после ω? Конечно, ω + 1. Если мы последуем выбранному правилу, это число, как и выше, определяется как множество ординалов, – иными словами, это множество натуральных чисел с вишенкой-омегой сверху:

ω + 1 = {0, 1, 2. 3 …; ω}.

Мы использовали точку с запятой, чтобы указать границу между бесконечным списком конечных вкладов 0, 1, 2, 3… и трансфинитным вкладом от ω. Но это всего лишь обозначения, которые не особо важны. Важно то, что ω + 1 – не то же самое, что ω. Причина в том, что для ординалов важен порядок. Чтобы лучше понять это, вернемся к нашим уточкам, только теперь представим, что это настоящие утки и они соревнуются:

Черная уточка финиширует первой и немного раздражена тем, что ее наградили нулем. Впрочем, ноль – первое из натуральных чисел, так что особо жаловаться ей не стоит. Клетчатая уточка заканчивает гонку второй и получает второе натуральное число (1), полосатая занимает третье место и получает третье натуральное число (2) и т. д. Многоточия указывают на то, что в гонке участвует бесконечное количество уток и каждой из них присваивают какое-то натуральное число. Теперь предположим, что проводится другая гонка, в которой на одного участника больше: добавляется белая утка. Она довольно медлительна и пересекает финишную черту, когда все остальные уже закончили гонку. Картина выглядит примерно так: