Удивительные числа Вселенной. Путешествие за грань воображения

Эти диагональные элементы образуют число 0,14585… Затем Кантор написал новое число, все цифры которого отличаются от этого числа на единицу. В нашем примере 0,14585… преобразуется в новое число 0,25696… Оно отличается от первого числа в списке, ведь у них разные первые цифры после запятой (по определению у нового числа первая цифра больше на 1). Оно отличается и от второго числа в нашем списке: у них разные вторые цифры после запятой. Оно отличается и от третьего числа – третьей цифрой после запятой. Фактически оно отличается от всех чисел из списка! Следовательно, невозможно уложить все числа континуума в список размера , поэтому за континуумом скрывается какая-то большая бесконечность, как и представлял себе Кантор.

Существует ли способ систематически конструировать эти большие бесконечности, чтобы пройти путь за пределы ? Ответ – «да». Мы уже построили огромную башню бесконечных ординалов, имеющих размер , от ω = {0, 1, 2, 3…} и ω + 1 = {0, 1, 2, 3, …; ω} до ω ↑^ω ω и даже выше. Их иногда называют счетными бесконечностями, потому что каждая из них на самом деле представляет собой множество чисел, для которого можно установить взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел – тех, которые мы используем для счета. Но что находится за пределами этой башни? Какой ординал находится в одном шаге за пределами счетных бесконечностей? Это омега один, ω₁. По определению он не может быть счетным – для него нельзя установить взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел. Такой небесный гигант должен иметь новую мощность, новый размер: алеф один, . Эта бесконечность не просто выше. Она больше.

Как обычно, ω₁ определяется как множество предшествующих ему ординалов. Иными словами, это полное множество счетных величин – от конечных крохотулек до наибольшей из счетных бесконечностей. Но от ω₁ мы можем продолжить восхождение – к ω₁ + 1 и даже выше. И снова они не обязаны быть больше, чем ω₁, – они просто идут следом. Вдобавок ω₁ + 1 также имеет мощность , потому что можно установить взаимно однозначное соответствие с множеством счетных величин. А затем появится очередной уровень – ординал, выходящий за рамки мощности . Это ω₂ – еще большее число с новой великолепной мощностью .

Полагаю, вам сейчас стало бесконечно тревожно из-за всего этого. В конце концов, даже бесконечность было трудно осознать, а теперь мы имеем дело с бесконечностями за пределами бесконечного, с чудовищными алефами и могучими омегами. Вот небольшая таблица, которая поможет вам собраться с мыслями.

Бесконечности Георга Кантора

Итак, Кантор вышел за пределы к более высоким уровням бесконечности, новым небесам и новым богам. Но в то время мало кто верил в его небесные искания. Наоборот, он был в аду, – по крайней мере, так считал математик Леопольд Кронекер. В середине XIX века Берлин стал центром математического мира, а Кронекер был одним из самых влиятельных университетских профессоров. Он был блестящим, но консервативным ученым. Кронекер говорил: «Бог создал целые числа, все остальное – дело рук человеческих». Его ужасали иррациональные числа. Конечно, он понимал стоящую за ними математику, но не видел им места в мире природы. Они были «делом рук человеческих», фантазией нетребовательных шарлатанов вроде Кантора. Кронекер был наставником Кантора, его учителем и другом. Но когда Кантор переехал из Берлина на юг, в университет Галле, он избавился от консерватизма своего учителя. Он вышел за пределы целых чисел, в сторону континуума и новых уровней бесконечности, которые таятся в нем. Кронекеру это не нравилось.

Математики стали воевать друг с другом, и вскоре вражда стала личной. Кронекер регулярно оскорблял Кантора и мешал публикации его работ в серьезных журналах. Неважно, что идеи Кантора были обоснованными и замечательными, – у Кронекера имелось преимущество в положении: он работал в Берлине, а Кантор был профессором второстепенного университета. Больше всего Кантора терзало чувство несправедливости. Он понимал, что заслуживает большего, что его способности дают право на профессорскую должность в Берлине, но он также осознавал, что из-за пагубного влияния Кронекера этого никогда не произойдет.

По мере того как атаки продолжались, Кантор отчаивался все сильнее. В несуразной попытке нанести ответный удар он подал заявление на профессуру в Берлине. Хотя ученый знал, что у него нет шансов на успех, он был уверен, что обидит Кронекера, и этого было достаточно. Он сказал шведскому математику Гесте Миттаг-Леффлеру: «Я точно знал, что Кронекер вспыхнет, как ужаленный скорпионом, и со своими резервными войсками поднимет такой вой, что Берлин решит, будто его перетащили в африканские песчаные пустыни с их львами, тиграми и гиенами».