Удивительные числа Вселенной. Путешествие за грань воображения

Неудивительно, что викторианское привидение выглядит смущенным. Оно и должно смущаться – это же катастрофический ответ. Как оно могло так напортачить? Чтобы изучить происходящее, посмотрим на отдельную волну электромагнитного излучения. Мы можем представлять ее в виде пары морских змей-близнецов (электрической и магнитной), находящихся в духовке и извивающихся взад и вперед под прямым углом друг к другу, как показано на следующем рисунке.

Эта волна имеет две важные характеристики: частоту колебаний и амплитуду. Частота говорит нам, как быстро извиваются змеи, а амплитуда – величина их изгибов. Викторианское привидение рисует вам картину множества пар змей, извивающихся с одинаковой амплитудой, причем в полном диапазоне частот. Оно также сообщает вам то, что говорили ему Максвелл и Больцман: средняя энергия, хранящаяся в каждой паре змей, одинакова – она не зависит от частоты. На деле оно убеждает вас, что каждая пара несет около 6 зептоджоулей[39] энергии[40]; это в 100 трлн раз меньше, чем 200 калорий, которые вы получите от батончика Mars. Несмотря на это крошечное число, привидение говорит вам, что полный диапазон частот на самом деле бесконечен. Поэтому в печи находится бесконечное количество извивающихся змей, они наполняют печь бесконечным количеством энергии. Такая логика приводит вас к ультрафиолетовой катастрофе и бесконечно большому счету за электроэнергию.

Но паниковать пока не нужно. Сейчас мы знаем, как избежать этой катастрофы, благодаря гениальному немецкому физику Максу Планку. Как и многие герои этой книги, он пострадал в личной жизни: нацисты казнили его сына Эрвина за участие в неудавшемся покушении Клауса фон Штауффенберга на Адольфа Гитлера.

Планк понял, что не все змеи рождаются равными[41]: энергия, которую они несут, должна зависеть от того, как быстро они извиваются. Если он хочет избежать ультрафиолетовой катастрофы, то самые извивающиеся змеи должны в среднем нести все меньше энергии, чтобы компенсировать тот факт, что их бесконечно много. Планк придумал, как это должно происходить в реальности. Электромагнитные волны не могут обладать произвольным количеством энергии (как предполагало наше викторианское привидение). В энергетическом спектре должны существовать пропуски, которые становятся все больше по мере увеличения частоты, что уменьшает среднее значение. Планк также заметил, что для соответствия результатам экспериментов[42] эти промежутки должны быть очень точными. Разрешенные энергии могут появляться только четко определенными порциями (структурными элементами), и чем выше частота волны, тем больше такие порции.

Но Планк не называл их порциями. Он называл их квантами (от лат. quantum – «сколько»).

Чтобы лучше понять математику, стоящую за «порционной» идей Планка, представьте вариант «Игры в кальмара», где погрязшие в долгах участники рискуют жизнями, участвуя в детских играх в надежде получить колоссальный денежный приз. Предположим, что есть 511 игроков с разным уровнем долга.

• 1 игрок должен 8 млрд корейских вон.

• 2 игрока должны по 7 млрд вон.

• 4 игрока должны по 6 млрд вон.

• 8 игроков должны по 5 млрд вон.

• 16 игроков должны по 4 млрд вон.

• 32 игрока должны по 3 млрд вон.

• 64 игрока должны по 2 млрд вон.

• 128 игроков должны по 1 млрд вон.

• 256 игроков не имеют долгов.

В начале соревнования средний долг всех игроков составляет чуть меньше миллиарда вон (точнее, 982 387 476 вон). К концу первой игры жестко «устранили» всех, кто должен 1 млрд вон, 3 млрд вон, 5 млрд вон или 7 млрд вон. Игроков стало меньше, и их общая задолженность значительно сократилась: средний долг оставшихся снизился примерно до 657 млн вон на каждого. Пусть к концу второй игры выбывают задолжавшие 2 млрд вон и 6 млрд вон. Средний долг остальных игроков в этот момент составляет всего 264 млн вон на каждого. После каждой очередной игры участники выбывают, и в «спектре» долгов появляются всё большие пробелы, что снижает средний показатель задолженности.

Планк понял, что нечто подобное должно происходить и с волнами в вашей духовке. Когда вы проводите перепись энергии для волн определенной частоты, то обнаруживаете, что эти колебания поглощают энергию только порциями определенного размера. При этом для более высоких частот эти порции увеличиваются, а средняя энергия резко падает.

Планк вычислил, что для соответствия экспериментальным данным волны с частотой ω должны иметь энергии, кратные величине ħω, где ħ – очень маленькое число, так называемая постоянная Планка, меньше одной миллиардной от триллионной доли триллионной доли привычных единиц[43]. Как мы вскоре увидим, малость величины ħ и становится причиной того, что квантовый мир оставался скрытым от нас так долго.