Удивительные числа Вселенной. Путешествие за грань воображения

Ни майяский, ни египетский нули не вышли за пределы своих цивилизаций. А вот вавилонскому это удалось: в годы, последовавшие за македонским завоеванием, вместе с золотом, женщинами и детьми, взятыми в рабство, в Грецию последовал и ноль. Греки записывали свои числа с помощью букв. Они обозначали буквами определенные числа (например, 1, 2 или 100), а с помощью различных сочетаний можно было получить другие числа (например, 101 или 102[89]). Позиционной системы у греков не было. Но даже после встречи с вавилонской системой мало кто обладал достаточным интеллектом, чтобы осознать ее преимущества, да и восхищение ею предпочитали скрывать. С помощью импортированного метода греческие математики начали выполнять более сложные расчеты, однако полученные результаты затем переводили обратно в свою старую систему. Что касается вавилонского нуля, то греки, безусловно, о нем знали и со временем придумали свой собственный знак , очень похожий на тот, который мы используем сегодня. Вероятно, это просто совпадение, поскольку символ не попал ни в одну из старых систем числительных. Греки усовершенствовали идею вавилонян, начав ставить нули и в конце чисел, однако они никогда не выпускали ноль на свободу – не признавали его отдельным самостоятельным числом. Если учесть прекрасную репутацию греческих математиков, естественно спросить, почему так получилось. На каком-то уровне это их просто не интересовало. В греческой математике доминировала геометрия, осязаемые отрезки и формы, поэтому трудно увидеть, где бы нашлась какая-нибудь роль для нуля. Но проблема лежала глубже. У греков было презрение и недоверие к нулю, а Запад позже с готовностью подхватил эстафету.

Это был философский вопрос.

Проблемы начались с Зенона Элейского[90]. Зенон принадлежал к философской школе, которую возглавлял его учитель Парменид, отвергавший идею изменения, утверждая, что движение, которое мы видим, – всего лишь иллюзия. Зенон применял эту мысль ко всему – гоночной колеснице, летящей стреле, водопаду, и ни одно из этих движений не оказывалось реальным. Конечно, это кажется абсурдом. Мы собственными глазами можем видеть окружающий нас разнообразный и меняющийся ландшафт. Однако Зенон сочинил несколько парадоксов, которые, казалось, доказывали, что, когда речь идет о познании истины, нашим чувствам доверять нельзя. Понимание и непонимание одного из парадоксов тесно связано с нулем, хотя на первый взгляд это и не заметно.

Мы расскажем свою версию этой истории. Ахиллес, величайший воин из греческой мифологии, соревнуется в беге с черепахой[91]. Он уверен в успехе, ведь его максимальная скорость составляет десять метров в секунду, а никто никогда не видел, чтобы его неторопливая соперница двигалась быстрее, чем один метр в секунду. Он решает дать рептилии фору и начинает забег, стоя позади конкурентки на десять метров. Пусть Ахиллес мгновенно набирает свою максимальную скорость и за одну секунду достигает той точки, с которой движение начала черепаха. Но черепахи там уже нет. Она продвинулась за эту секунду всего лишь на метр, но что ни говори, а Ахиллес ее пока не догнал. За десятую долю секунды Ахиллес пробежал недостающий метр, но черепаха за это время тоже продвинулась дальше – на этот раз на десять сантиметров. Когда Ахиллес преодолеет эти десять сантиметров, черепаха продвинется еще на сантиметр и т. д. С каждым новым шагом воин приближается, но, чтобы догнать черепаху, ему требуется бесконечное количество шагов. Иными словами, Ахиллес никогда ее не догонит.

Зенон озадачил современников. Ясно, что Ахиллес справится с проблемой и догонит черепаху за считаные секунды, но где ошибка в рассуждениях? Другие философы сочли, что дело в бесконечном числе шагов, – и были правы. Однако для решения проблемы бесконечности им также требовалась математика нуля, которой у них не имелось. Зенону было все равно. По его мнению, неспособность философов объяснить парадокс доказывала, что нашим чувствам нельзя доверять. Это был триумф школы Парменида.

Зенон умер насильственной смертью. Он жил в древнегреческом городе Элее, которым правил жестокий тиран Неарх. Зенон замыслил свергнуть правителя, но заговор был раскрыт, Зенона схватили и передали Неарху. От него требовали назвать имена других заговорщиков, но, как его ни пытали, он никого не выдал. Философ сообщил, что у него есть тайна, но, если тиран хочет ее услышать, ему придется подойти поближе. Когда тот наклонился, Зенон вцепился зубами в тирана и не отпускал. В результате философа закололи. Некоторые говорят, что он вцепился в ухо Неарха; другие говорят, что это был нос[92].