Удивительные числа Вселенной. Путешествие за грань воображения

Сейчас взгляды Кэя опровергнуты. Хотя мы справедливо считаем некоторые документы сомнительными, кажется маловероятным, что абсолютно все они имеют ошибочные даты, и большинство ученых теперь соглашаются с тем, что современная система счисления возникла в Индии к V веку. В том числе и ноль. Мы можем проследить его происхождение до берестяного манускрипта, обнаруженного в 1881 году одним крестьянином в деревне Бакхшали (на территории современного Пакистана). Берестяные страницы содержат математический текст – правила для вычисления квадратных корней, дробей, решения различных уравнений, а также набор цифр, порой и сегодня почти узнаваемых.

Список цифр, встречающихся в манускрипте Бакхшали

Ноль изображен в виде точки – прямого предка того кружка, который мы используем сейчас. Датирование манускрипта Бакхшали сталкивается с проблемами. Питаемый своими предубеждениями Кэй утверждал, что он не может быть старше XII века, однако возраст документа явно намного больше. Анализ текста позволяет предположить, что это могла быть копия более древнего произведения, возможно относящегося к III веку. Чтобы разобраться в вопросе, из манускрипта взяли три образца для радиоуглеродного анализа. Однако анализ дал разный их возраст: 224–383, 680–779 и 885–993 годы[94]. Сейчас документ хранится в Бодлианской библиотеке Оксфордского университета.

В конце концов ноль был освобожден великим индийским математиком и астрономом Брахмагуптой. В 628 году он написал труд «Брахма-спхута-сиддханта», или «Правильно изложенное учение о Брахме». Он работал с отрицательными числами и на границе с ними увидел шунья. Он начал думать о смысле сумм и разностей, умножения и деления. Если разность 3–4 – число, то почему бы числом не быть разности 3–3? Брахмагупта понял, что ноль – настоящее число, не просто указатель пустого места, а честный игрок в математической игре. Правила были просты: если к произвольному числу прибавить ноль или вычесть его из произвольного числа, получится то же число; если число умножить на ноль, получится ноль; если же поделить на ноль… ну, может быть, не все так просто.

Когда Брахмагупта попытался делить на свое новое число, он стал ошибаться. Например, он заявил: если делить ноль на ноль, получится ноль. Но это не обязательно так. Чтобы понять это, представьте двух близнецов. Оба приняли препарат для снижения размера и внезапно начинают уменьшаться. Сначала их рост уменьшается вдвое, затем еще раз вдвое, и так до бесконечности – рост близнецов стремится к нулю. Поскольку они оба уменьшаются с одинаковой скоростью, соотношение их размеров всегда равно единице. Оно никогда не меняется, поэтому, даже когда оба близнеца в бесконечном будущем сократятся до нуля, это отношение должно остаться равным единице. Получается, что ноль, деленный на ноль, равен единице? Тоже не обязательно. Предположим, что этот препарат употребили великан и карлик. Сначала великан в десять раз выше карлика, и, поскольку они тоже уменьшаются с одинаковой скоростью, отношение их ростов остается прежним – оно всегда равно десяти. Следовательно, вы можете заключить, что ноль, деленный на ноль, дает десять. Но разве мы только что не доказали, что это один? Истина в том, что это отношение может быть каким угодно. В результате может получиться ноль, один, десять, TREE(3) или даже бесконечность. Отношение двух нулей само по себе не определено. Вы можете взять отношение двух очень маленьких чисел и изучать этот предел по мере того, как числа становятся все меньше. Это имеет смысл с математической точки зрения, однако, как мы только что видели, итоговый ответ всегда будет зависеть от того, как именно вы приближаетесь к пределу. Ноль, деленный на ноль, не имеет смысла, пока вы не объясните, что это за нули и насколько быстро стремится к нулю числитель по сравнению со знаменателем.

Когда дело дошло до деления единицы на ноль, Брахмагупта сдался. Неудивительно. Как писал в XII веке другой индийский «волшебник», Бхаскара Ачарья, подобное деление дает хахару («бесконечность») – такую же неизменную, как бог Вишну, бесконечный и всемогущий. Восемьсот лет спустя деление на ноль поразит американский флот. Тогда, 21 сентября 1997 года, глубоко внутри компьютерных систем «Йорктауна» – ракетного крейсера водоизмещением 10 000 тонн, стоявшего у города Кейп-Чарльз, – притаился ноль. В результате единственного деления он вывел из строя всю сеть, двигательная установка отключилась и корабль парализовало. По словам Тони Диджорджио, инженера Атлантического флота, который называет себя разоблачителем, «Йорктаун» пришлось отбуксировать на военно-морскую базу «Норфолк», где он простоял два дня. Официальные лица Атлантического флота опровергли эту версию событий, однако признали, что из-за деления на ноль корабль почти три часа простоял парализованным. Как понял еще Брахмагупта, ноль – это всего лишь число, однако никогда не делите на него, особенно если приближается враг.