Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

42. Для справок и дальнейшего обсуждения нотных гамм и нашего (почти) логарифмического восприятия высоты звука см. J. H. McDermott and A. J. Oxenham, Music perception, pitch, and the auditory system, Current Opinion in Neurobiology, Vol. 18 (2008), pp. 1–12 на http://en.wikipedia.org/wiki/Pitch_(music); http://en.wikipedia.org/wiki/Musical_scale; и http://en.wikipedia.org/wiki/Piano_key_frequencies.

Для подтверждения того, что наше врожденное арифметическое мышление также и логарифмическое см. S. Dehaene, V. Izard, E. Spelke, and P. Pica, Log or linear? Distinct intuitions of the number scale in Western and Amazonian indigene cultures, Science, Vol. 320 (2008), pp. 1217–1220 на сайте http://www.sciencedaily.com/releases/2008/05/080529141344.htm.

Прим. ред.: О связи математики и музыки см. Волошинов А.В. Математика и искусство. М. : Просвещение, 2000. Эта книга не только для тех, кто любит математику или искусство, но и для тех, кто желает задуматься о природе прекрасного и красоте науки. Настоятельно рекомендую эту книгу.

12. Танец квадратов

43. Оказывается, древние вавилоняне, индийцы и китайцы уже за несколько веков до Пифагора и греков обладали знаниями, содержащимися в теореме Пифагора. Для получения дополнительных сведений об истории и значении теоремы, а также обзор множества ее изобретательных доказательств см. книгу E. Maor, The Pythagorean Theorem (Princeton University Press, 2007).

Прим. ред.: Аналогом данной книги на русском языке может служить книга Литцман В. Теорема Пифагора. М. : ГИФМЛ, 1960.

44. На странице 13 своей книги Маор объясняет, что слово «гипотенуза» означает «натянутая под», и указывает, что это имеет смысл, если считать, что гипотенуза прямоугольного треугольника находится внизу (см. евклидово доказательство теоремы Пифагора). Он также отмечает, что эта интерпретация хорошо вписывается в китайское слово, обозначающее гипотенузу, «сянь» (hsien) — струна, натянутая между двумя точками (как в лютне).

45. Дети и их родители насладятся съедобными иллюстрациями теоремы Пифагора, предложенными Джорджем Хартом на его постере Pythagorean crackers («Пифагорейские крекеры») для музея математики по адресу http://momath.org/home/pythagorean-crackers/.

46. Вот рассуждения, пропущенные во втором доказательстве. Возьмем равенство a/d = c/a и преобразуем его в d = a²/c. Аналогично преобразуя другое равенство, получим e = b²

/c. Наконец, подставив выражения для d и e в равенство c = d + e, получим c = a

²/c + b²/c. Теперь умножим обе части последнего равенства на c и выведем искомую формулу c² = a

² + b².

13. Кое-что из ничего

47. Все 13 книг Elements в одном удобном томе с большим количеством иллюстраций: Euclid’s Elements, edited by D. Densmore, (Green Lion Press, 2002). Еще один отличный перевод в формате PDF: http://farside.ph.utexas.edu/euclid.html.

Прим. ред.: В английской традиции книги Евклида называются Elements («Элементы»), в отличие от русской традиции, где книги Евклида имеют название «Начала». Русское полное издание «Начал» Евклида: Начала Евклида. Пер. и комм. Д. Д. Мордухай-Болтовского при ред. участии И. Н. Веселовского и М. Я. Выгодского. В 3 т. (Серия «Классики естествознания»). М. : ГТТИ, 1948–50.

48. Дополнительные сведения о Томасе Джефферсоне, о его преклонении перед Евклидом и Ньютоном и использовании им аксиоматического подхода при написании Декларации независимости, можно найти в книге I. B. Cohen, Science and the Founding Fathers, (W. W. Norton and Company), 1995 и J. Fauvel, Jefferson and mathematics на http://www.math.virginia.edu/Jefferson/jefferson.htm.

49. В этой главе я умолчал о ряде тонкостей в двух представленных доказательствах. Например, в доказательстве о равностороннем треугольнике неявно предполагается (как сделал Евклид), что две окружности пересекаются в какой-то определенной точке, которую мы обозначили С. Но нет никаких аксиом Евклида, подтверждающих это свойство, — нужна дополнительная аксиома о непрерывности окружностей. Бертран Рассел, в частности, отметил этот пробел в статье B. Russell, The Teaching of Euclid, Mathematical Gazette, Vol. 2, No. 33 (1902), рр. 165–167, доступна по адресу http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Extras/Russell_Euclid.html.