Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

Но наедине с собой математика не всегда так уверена в себе. Она колеблется. Задает себе вопросы и порой сомневается в том, что они правильные. Особенно там, где дело касается бесконечности. Бесконечность может заставить математика бодрствовать ночами, вызывая тревогу, суетливость и чувство экзистенциального ужаса. В истории математики были времена, когда спущенная с привязи бесконечность была настолько взвинчена, что появлялись опасения, что она может все перевернуть с ног на голову.

В сериале «Клан Сопрано» босс мафии Тони Сопрано, страдающий приступами панических атак и пытающийся понять, почему его мать хочет, чтобы его убили, консультируется у врача-психиатра. Под напускной жесткостью скрывается очень смущенный и напуганный человек.

Таким же образом исчисление уложило себя на кушетку психиатра именно тогда, когда казалось, что оно при смерти. После многолетнего триумфа, уничтожив все проблемы, стоявшие на пути, оно начало осознавать что-то нездоровое, настораживающее в самой своей основе. Именно то, что сделало его успешным, — его жестокие навыки и бесстрашие в манипулировании бесконечными процессами — в настоящее время угрожало его уничтожить. И терапией, которая в конечном итоге помогла преодолеть этот кризис, стал, по случайному совпадению, анализ140.

Вот пример одной из задач, которые волновали математиков XVIII века. Рассмотрим бесконечную сумму

1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ...

Это числовой эквивалент незатухающих колебаний141: шаг вперед, шаг назад, шаг вперед, шаг назад и так далее до бесконечности.

Значит ли это, что данная последовательность чисел имеет какой-нибудь смысл? И если да, то чему она равна в результате?

Оптимист, дезориентированный бесконечно длинным выражением, подобным этому, может надеяться, что некоторые из старых правил, выкованных опытом взаимодействия с конечными суммами, останутся в силе. Например, мы знаем, что 1 + 2 = 2 + 1. Когда мы складываем два числа и более в виде конечной суммы, мы всегда можем поменять их порядок без изменения результата: a + b

равно b + a (коммутативный закон сложения). И когда в выражении больше чем два члена, мы можем, поставив скобки, самозабвенно группировать его члены, не влияя на окончательный результат. Например: (1 + 2) + 4 = 1 + (2 + 4): сложение 1 и 2, а затем 4, дает тот же ответ, что и сложение 2 и 4, а затем 1. Это называется ассоциативным (сочетательным) законом сложения. Он работает, даже если суммируются несколько чисел. Мы знаем, что вычитание числа — то же самое, что прибавление отрицательного числа. Например, рассмотрим сумму, состоящую из первых трех членов записанного выше числового ряда, и зададим вопрос: что такое 1 – 1 + 1? Мы могли бы представить это как: (1 – 1) + 1 или 1 + (–1 + 1), где во втором выражении в скобках вместо вычитания 1 прибавляем –1. В любом случае ответ будет: 1.

Но когда мы попытаемся обобщить эти правила для бесконечных сумм, то столкнемся с несколькими неприятными сюрпризами. Посмотрите на возникающее противоречие: если мы возьмем ассоциативный закон и доверчиво применим его к 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ... С одной стороны, мы можем сократить положительные и отрицательные единицы, группируя их следующим образом:

1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ... = (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + ... = 0 + 0 + 0 + ... = 0.

С другой — можно точно так же, как здесь показано, поставить скобки и сделать вывод, что результат равен 1.

1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ... = 1 + (–1 + 1) + (–1 + 1) + ... = 1 + 0 + 0 + ... = 1.

Ни один из этих способов не кажется более убедительным, поэтому какова вероятность, что сумма равна и 0, и 1? Сегодня для нас это предположение звучит абсурдно, но в то время некоторые математики утешились его религиозным подтекстом. Он напоминал им о богословском утверждении, что Бог создал мир из ничего. Как написал в 1703 году математик и священник Гвидо Гранди: «Поставив по-разному скобки в выражении 1 – 1 + 1 – 1 + ... я могу, если хочу, получить 0 или 1. Но тогда идея творения из ничего (лат. ex nihilo) совершенно правдо­подобна».

Тем не менее очевидно, что Гранди предпочитал третье значение суммы, отличное от 0 или 1. Догадаетесь ли вы, какое именно? Подумайте, что можно сказать, если вы с ученым видом валяете дурака.

Правильно. Гранди считал, что истинная сумма равна . И великие математики, в том числе Лейбниц и Эйлер, были с ним согласны. Несколько линий рассуждения подтверждали этот компромисс. Например, 1 – 1 + 1 – 1 + ... можно выразить с помощью собственных членов следующим образом. Давайте использовать букву S для обозначения суммы. Тогда по определению

S

= 1 – 1 + 1 – 1 + ...

Теперь оставим первую 1 в правой части уравнения в покое и займемся остальными его членами. Они создают собственную копию S, и члены, стоящие справа от первой 1, вычитаются из нее:

S = 1 – 1 + 1 – 1 + ... = 1 – (1 – 1 + 1 – ...) = 1 – S.

Так что S = 1 – S и, следовательно, S = .