Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Сам того не понимая, Абель заполнил пробел в доказательстве Руффини. Он показал, что если уравнение может быть решено с помощью радикалов, то должна существовать башня радикалов, приводящая к этому решению, обязательно содержащая только коэффициенты исходного уравнения. Это теорема Абеля о решении алгебраических уравнений; она содержит утверждение, что нельзя решить уравнение за счет включения множества новых величин, не связанных с исходными коэффициентами. Вроде бы очевидно, но Абель понимал, что это решающий момент для всего доказательства.

Ключом к абелеву доказательству невозможности стал искусный предварительный результат. Предположим, мы взяли некоторое выражение от корней x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ уравнения и извлекли его корень p-й степени для некоторого простого числа p. Предположим, что исходное выражение не изменилось, когда мы применили две специальные перестановки:

S: x₁, x₂, x₃

, x₄, x₅ → x₂, x₃, x₁, x₄, x₅

и

Т: x₁, x₂

, x₃, x₄, x₅ → x₁, x₂, x₄, x₅, x₃.

Затем Абель показал, что p-й корень из этого выражения также не изменяется, когда мы применяем S

и T. Этот предварительный результат напрямую подводит нас к доказательству теоремы о невозможности подъема на «башню», ступень за ступенью. Предположим, уравнение пятой степени можно решить в радикалах, т. е. существует башня радикалов, начинающаяся с коэффициентов, по которой можно подняться к некоему решению.

Первый этаж башни – безобидное выражение с коэффициентами – не меняется, когда мы применяем перестановки S и T, потому что они влияют не на коэффициенты, а на корни. Поэтому, по предварительному результату Абеля, второй этаж башни также неизменен после применения S и T, ведь он был достигнут примыканием корня p-й степени к чему-то с первого этажа для некоего простого числа p. По той же причине третий этаж остается неизменным, когда мы применяем S и T. То же касается четвертого этажа, пятого… до самого верха.

Но последний этаж содержит некое решение. Может ли им быть x₁? Если да, x₁ должен оставаться неизменным, когда мы применили S. Но S, примененное к x₁, дает x₂

, а не x₁; это нас не устраивает. По схожим причинам иногда после применения T решение, определяемое башней, не может быть x₂, x₃, x₄ или x₅. Все пять корней исключены из любой такой башни – и в итоге она на самом деле не может содержать решения.

Из этой логической ловушки нет выхода. Уравнения пятой степени не имеют решения, потому что любое решение в радикалах должно обладать взаимоисключающими свойствами, а значит, не может существовать.

Галуа

Эстафету в разгадке не только тайны решения уравнения пятой степени, но и алгебраических уравнений в целом принял Эварист Галуа, одна из самых трагических фигур в истории математики. Галуа сам перед собой поставил задачу определить, какие уравнения могут быть решены в радикалах, а какие нет. Как и многие его предшественники, он понимал, что ключ к алгебраическому решению кроется в поведении корней в результате перестановок. Проблема заключалась в симметрии.

Руффини и Абель понимали, что выражение корней может быть как симметричным, так и нет. Оно может оказаться частично симметричным: неизменным при одних перестановках и изменяемым при других.

Галуа заметил, что перестановки, фиксирующие некоторые выражения с корнями, не обязательно формируют такие соотношения для любого их старого набора. Они имеют простую и очень характерную особенность. Если вы берете любые две перестановки, фиксирующие выражение, и перемножаете их, результат также фиксирует перестановку. Такую систему перестановок он назвал группой. Как только вы поймете верность этой идеи, доказать ее будет очень просто. Секрет в том, чтобы ее осмыслить и осознать ее важность.

ЭВАРИСТ ГАЛУА 1811–1832