Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

СИММЕТРИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Возьмем квадратное уравнение, немного упростив его форму:

x² + px + q = 0.

Предположим, есть два решения (корня) x = a и x = b:

x² +

px + q = (x – a) (x – b).

Нам известно из школьного курса, что

a + b = –p ab = q.

Значит, хотя мы всё еще не знаем корней, нам известны их сумма и произведение.

Почему так вышло? Сумма a + b равна сумме b

+ a – она не меняется от перестановки корней. То же верно и для ab = ba. Получается, любая симметричная функция, зависящая от корней, может быть выражена через коэффициенты p и q. Верно и обратное: любое выражение для p и q всегда является симметричной функцией от a и b. Если смотреть шире, связь между корнями уравнения и коэффициентами определяется свойствами симметрии.

Асимметричные функции так себя не ведут. Хороший пример – разница a – b. Если мы меняем местами a и

b, получаем b – a, т. е. другое значение. Однако – и это важнейшее наблюдение – оно не совсем другое. Это то, что мы получим из a – b, сменив его знак. Так что квадрат (a – b)² полностью симметричен. Но любая полностью симметричная функция от корней должна быть неким выражением в коэффициентах. Извлеките квадратный корень, и вы получите выражение для a – b через коэффициенты, где не используется ничего более загадочного, чем квадратный корень. Мы уже знаем: a + b = –p. Также нам известно и a – b; сумма двух этих чисел равна 2а

, а разница 2b. Поделив на 2, мы получим формулы для a и b.

Всё это мы проделали, чтобы доказать, что должна существовать формула для корней a и b, не включающая ничего более загадочного, чем квадратный корень, основанная на общих свойствах симметрии алгебраических выражений. Это впечатляет: мы доказали, что у задачи есть решение, не вдаваясь в запутанные детали и объяснения, что есть что. И в каком-то смысле мы отследили, почему древние вавилоняне смогли найти свой метод. Это небольшое исследование наделяет слово «понимать» новым смыслом. Вы можете понять, как метод вавилонян привел к решению, пройдя поочередно все этапы и убедившись в их логике. Но теперь мы знаем, почему здесь непременно должен быть такой метод, – не показав конкретное решение, но рассмотрев общие свойства предполагаемых корней. В данном случае таким ключевым свойством оказалась симметрия.

Не требуя больших усилий для того, чтобы вывести точное выражение для (a – b)², этот прием дает нам формулу решения. Она эквивалента и той формуле, которую мы учили в школе, и методу, использованному в Вавилоне.