Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Математический гений Гамильтона проявился так рано, что он был назначен профессором астрономии в Тринити-колледже в Дублине, еще будучи студентом, в возрасте 21 года. Этот пост принес ему титул королевского астронома Ирландии.

Он совершил немало прорывов в математике, но самым значимым всегда считал открытие кватернионов. Он утверждал: «Кватернионы ‹…› полностью сформировались и зажили своей жизнью 16 октября 1843 г., когда я пешком шел с леди Гамильтон по Дублину и оказался на мосту Брум. Там я в буквальном смысле тут же ощутил замкнутую гальваническую цепь мысли, и искры, выпавшие из нее, были фундаментальными уравнениями для i, j и k – в точности в том виде, в каком я использовал их с тех пор. Я тут же выхватил из кармана записную книжку, которая до сих пор хранится у меня, и сделал наброски. И в тот же миг мне стало ясно, что ради этого результата я трудился не покладая рук последние десять, а то и пятнадцать лет. В тот момент я почувствовал, что проблема решена, и мой ум испытал желанное облегчение от того груза, что не давал мне покоя целых пятнадцать лет».

Гамильтон немедленно вырезал свое уравнение на камнях моста:

i

² = j² = k² = ijk – 1.

Геометрия начала избавляться от оков этого ограниченного мировоззрения, когда алгебраисты итальянского Ренессанса невольно натолкнулись на возможность более глубокого расширения концепции чисел, признав существование квадратного корня из –1. Валлис, Вессель, Арган и Гаусс разработали принципы интерпретации получаемых в результате комплексных чисел в виде точек на плоскости, избавив тем самым числа от оков одномерности вещественной прямой. В 1837 г. ирландский математик Уильям Роуэн Гамильтон упростил эту тему до алгебраического выражения, определив комплексное число x + iy как пару действительных чисел (x, y

). Он далее определил сложение и умножение таких пар правилами:

(x, y) + (u, v) = (x + u, y + v)

(x, y)(u, v) = (xu – yv, xv + yu).

При таком подходе пара вида (x, 0) ведет себя как действительное число x, а особая пара (0, 1) – как i. Идея проста, но для ее принятия потребовалось изобрести изощренную концепцию математического мировосприятия.

Следом Гамильтон обратил свое внимание на нечто более амбициозное. Было хорошо известно, что комплексные числа дают возможность разрешить множество проблем математической физики, связанных с задачами на плоскости, используя простые и изящные методы. Такому же приему для трехмерного пространства не было бы цены. И ученый попытался изобрести трехмерную числовую систему в надежде, что соответствующие вычисления решат важные проблемы математической физики в трехмерном пространстве. Он по умолчанию предположил, что эта система будет удовлетворять всем обычным законам алгебры. Но, несмотря на героические усилия, он так и не нашел такую систему.

А потом он понял почему. Это было невозможно.

Среди общепринятых законов алгебры имеется коммутативный закон умножения, согласно которому ab = ba. Гамильтон потратил годы на то, чтобы создать эффективную алгебру для трех измерений. И он все-таки нашел ее – числовую систему под названием кватернионы. Однако это была алгебра для четырех измерений, а не для трех, и здесь умножение не было коммутативно.

Кватернионы похожи на комплексные числа, но вместо одного нового числа i

здесь их три: i, j, k. Кватернион является комбинацией этих чисел, например 7 + 8i – 2j + 4k. Точно так же, как комплексные числа двумерны, поскольку составлены из двух независимых величин 1 и i, кватернионы четырехмерны, так как составлены из независимых величин 1, i, j и k. Они могут быть формально определены алгебраически как четверки действительных чисел со своими правилами сложения и умножения.

Многомерное пространство