Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

ПРОСЧЕТ ПУАНКАРЕ

Джун Барроу-Грин, изучавшая архивы Института Миттаг-Леффлера в Стокгольме, недавно раскопала скрытую до поры довольно неприятную историю. В работе Пуанкаре, получившей когда-то королевскую премию, содержалась серьезная ошибка. Вопреки всеобщему мнению, ученый был далек от открытия хаоса, напротив, заявлял, будто доказал, что такового не существует. В оригинале его работы есть доказательство того, что все движения в задаче о трех телах регулярны и предсказуемы.

Уже получив премию, Пуанкаре запоздало обнаружил свою ошибку и тут же понял, что она полностью дискредитирует его доказательство. Но удостоенная награды статья уже была опубликована в одном из номеров институтского журнала. Номер успели изъять, и Пуанкаре за свой счет перепечатал его – уже с описанием гомоклинических петель, которые мы сейчас называем хаосом. Это обошлось ему в значительно большую сумму, чем премия. Удалось отозвать практически все экземпляры ошибочной версии работы, но одна ускользнула из его сетей и сохранилась в архиве института.

Его работа получила премию короля Оскара II, хотя в ней и не было окончательного решения проблемы. Примерно 60 годами позже она стала важнейшим толчком для изменения наших взглядов на Вселенную и ее связь с математикой.

В 1926–1927 гг. голландский инженер Балтазар ван дер Пол сконструировал электронную схему для создания математической модели сердца и обнаружил, что в определенных условиях возникающие колебания становятся не периодическими, как полагается сердцу, а нерегулярными. Его работа получила солидное математическое обоснование во время Второй мировой войны в исследовании Джона Литлвуда и Мэри Картрайт, посвященной радарам. Но прошло еще 40 лет, прежде чем стало ясно истинное значение этих открытий.

Нелинейная динамика

В начале 1960-х гг. американский математик Стивен Смэйл открыл новую эру в теории динамических систем, собравшись разработать полную классификацию типичных образцов поведения электронных схем. Изначально ожидая получить в ответе некие комбинации периодических движений, он очень быстро понял, что здесь возможно гораздо более сложное поведение. В частности, он развил открытое Пуанкаре сложное движение в ограниченной задаче трех тел, создав упрощенную геометрию для описания системы, получившей название подковы Смэйла. Он доказал, что система подковы, хоть и детерминированная, обладает некоторыми случайными чертами поведения. Другие примеры подобных явлений были открыты представителями американской и советской школ теоретических динамических систем. Самый значительный вклад внесли Александр Шарковский и Владимир Арнольд, благодаря чему появилась общая теория. Термин «хаос» предложили Джеймс Йорк и Тьен-Йен Ли в 1975 г. в краткой статье, упростившей один из результатов советской школы – теорему Шарковского (1964) с описанием любопытной закономерности в периодических решениях дискретной динамической системы – той, где время движется отдельными шагами, а не непрерывно.

Тем временем описания хаотичных систем то и дело появлялись в научной литературе – и снова были сильно недооценены научным сообществом. Самое известное из них дал в 1963 г. метеоролог Эдвард Лоренц. Он создал модель атмосферной конвекции, аппроксимировав очень сложные уравнения для этого явления с помощью более простых с тремя переменными. Решая их численно на компьютере, он открыл, что решение колебалось нерегулярным, почти случайным образом. Он также открыл, что если те же самые уравнения решались с использованием исходных значений переменных, отличавшихся друг от друга незначительно, разница в решениях увеличивалась, пока они не становились абсолютно разными. Его описание для этого явления в последующих лекциях открыло очень популярную в настоящее время тему – эффект бабочки, когда взмаха крыльев бабочки оказалось достаточно, чтобы через месяц из-за него разразился ураган на другой стороне планеты.

Аттрактор Лоренца