Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Когда Мэри Картрайт в 1923 г. закончила Оксфордский университет, она стала пятой женщиной, получившей здесь диплом математика. Недолго поработав преподавателем, она защитила докторскую диссертацию в Кембридже. Хотя официально ее руководителем считался Годфри Харди, на самом деле она работала с Эдвардом Титчмаршем, поскольку Харди в то время был занят в Принстоне. Темой ее диссертации был комплексный анализ. В 1934 г. она была назначена младшим преподавателем в Кембридже и в 1936 г. стала руководителем научного направления в Гиртон-колледже.

В 1938 г. в сотрудничестве с Джоном Литлвудом она выполняла заказ Департамента научных и промышленных исследований по дифференциальным уравнениям, необходимым для работы радаров. Ученые открыли, что решения этих уравнений чрезвычайно сложны; это были первые предвестники такого явления, как хаос. Благодаря этой работе Картрайт в 1947 г. стала первой женщиной, избранной членом Королевского общества. В 1948 г. она получила пост главы Гиртона и с 1959 по 1968 г. читала лекции в Кембридже. Она была удостоена многих наград, а в 1969 г. стала дамой-командором ордена Британской империи.

А вот другой тип потока, турбулентный, вовсе не такой ровный: он нерегулярный и едва ли не случайный. Предыдущие теории описывали турбулентный поток либо как особенно сложную комбинацию из слагаемых, каждое из которых очень простое и регулярное само по себе, либо как искаженные турбулентным режимом уравнения Навье – Стокса. Однако Рюэль и Такенс выдвинули третью теорию. Они предположили, что турбулентность есть физическое проявление странного аттрактора.

Поначалу эта теория вызвала изрядный скептицизм, но сейчас мы уже знаем, что она верна по сути, хотя некоторые ее детали вызывают вопросы. Последовали другие успешные ее применения, и слово «хаос» стало признанным названием для такого поведения.

Теоретические монстры

Пора обратить внимание на вторую тему этой главы. В 1870–1930 гг. многие математики независимо друг от друга увлеклись изобретением невозможных форм с единственной целью доказать ограниченность классического анализа.

На самых ранних порах развития исчисления математики пришли к выводу, что всякая непрерывная изменяющаяся величина почти везде должна иметь вполне определенный темп изменения. Например, предмет, непрерывно движущийся в пространстве, имеет четко определенную скорость, за исключением относительно редких моментов, когда она резко меняется. Однако в 1872 г. Карл Вейерштрасс доказал, что это давнишнее утверждение неверно. Предмет может двигаться непрерывно, но так нерегулярно, что его скорость будет резко меняться в любой момент. Это значит, что на самом деле он не имеет разумной скорости вообще.

Стадии построения кривой Гильберта, заполняющей пространство, и треугольник Серпинского

Следующим вкладом в этот странный набор аномалий стали кривые, заполняющие всю область пространства (одну открыл Пеано в 1890 г., другую Гильберт в 1891-м), кривая, пересекающая саму себя в каждой точке (открыта Вацлавом Серпинским в 1915 г.), и кривая бесконечной длины, заключенная в конечной области. Последний пример геометрической странности, открытый в 1906 г. Хельге фон Кохом, получил название кривой-снежинки, и вот как ее можно получить. Нужно взять равносторонний треугольник и добавить к нему треугольные выступы ровно посередине каждой стороны (так, чтобы их основание занимало треть длины стороны), при этом убирая основание каждого выступа, чтобы в итоге получилась шестиконечная звезда. Затем добавить меньшие выступы в середине каждой из 12 сторон и так далее до бесконечности. Из-за шестикратной симметрии в результате получится форма безупречной снежинки. Правда, в природе снежинки растут по иным правилам, но это уже другая история.

Снежинка Коха