С больцмановским подходом ко второму началу термодинамики связаны еще два надоедливых вопроса, которые не мешало бы прояснить или, по крайней мере, о которых стоит упомянуть. Итак, у нас есть огромный набор микросостояний, который мы подразделяем на макросостояния, и мы объявляем, что энтропия равна логарифму числа микросостояний в данном макросостоянии. Теперь нам предлагают добавить еще один существенный факт — предположение о том, что все микросостояния, отвечающие одному и тому же макросостоянию, «равновероятны».
Следуя по цепочке рассуждений Больцмана, логично было бы утверждать, что причина возрастания энтропии со временем кроется всего-навсего в количестве микросостояний: куда больше микросостояний образуют макросостояния с высокой энтропией, чем с низкой. Однако это утверждение не имело бы никакого смысла, если бы типичная система проводила намного больше времени в низкоэнтропийных микросостояниях (а их относительно немного), чем в высокоэнтропийных (которых гораздо больше). Представьте себе, будто у микроскопических законов физики появилось новое свойство: почти все высокоэнтропийные состояния естественным образом переходят в одно из немногих низкоэнтропийных состояний. В таком случае тот факт, что состояний с высокой энтропией больше, не играл бы совершенно никакой роли; мы все равно знали бы, что если подождать достаточно долго, то энтропия в системе понизится.
Несложно вообразить мир с подобными безумными законами физики. Давайте еще раз вернемся к бильярдному столу с катающимися по нему шарами. Шары перемещаются по столу совершенно обычным образом, за одним важным исключением: каждый раз, когда шар врезается в какой-то один бортик стола, он мгновенно к нему прилипает. (Мы предполагаем, что в нашем мысленном эксперименте нет злоумышленника, намазавшего бортик клеем, или еще чего-то подобного, демонстрирующего, тем не менее, обратимое поведение на микроскопическом уровне, — в данном случае мы вводим совершенно новый фундаментальный закон физики.) Обратите внимание на то, что пространство состояний этих бильярдных шаров абсолютно такое же, каким оно было бы в традиционном мире: зная положение и импульс каждого шара, мы можем с идеальной точностью предсказать их будущее. Тонкость лишь в том, что с громадной вероятностью в конце эволюции этой системы все шары будут находиться возле одного из бортиков. Энтропия такой конфигурации чрезвычайно низка; подобных микросостояний совсем немного. В таком мире энтропия могла бы спонтанно уменьшиться даже в замкнутой системе, такой как бильярдный стол.
Совершенно очевидно, что в этом примере, хоть и притянутом за уши, фигурирует новшество: необратимый закон физики. А сама система очень напоминает шахматную доску
Реальные же законы физики на фундаментальном уровне обратимы. И если вдуматься, это их свойство гарантирует, что высокоэнтропийные состояния не будут стремиться переходить в состояния с низкой энтропией. Как вы помните, основа обратимости — сохранение информации. Информация, необходимая для описания конкретного состояния, сохраняется, несмотря на то что система движется, меняясь с течением времени. Это означает, что два разных состояния с течением времени всегда переходят в два разных состояния; если бы в будущем они приходили в какое-то одно состояние, то мы не могли бы восстановить прошлое этого состояния. Поэтому совершенно невозможно, чтобы все высокоэнтропийные состояния стремились в низкоэнтропийные: состояний с низкой энтропией просто-напросто слишком мало, для того чтобы это было реально. Данный результат называется теоремой Лиувилля в честь французского математика Жозефа Лиувилля.
Это почти то, что нам нужно, но не совсем. И, как это часто случается, мы хотим того, что вряд ли сможем в действительности получить. Предположим, что у нас есть какая-то система, мы знаем, в каком макросостоянии она находится, и хотели бы сделать какие-то предсказания относительно ее будущего. Пусть это будет, например, стакан воды с плавающим в ней кубиком льда. Согласно теореме Лиувилля, большинство микросостояний этого макросостояния будут стремиться к увеличению (либо сохранению) энтропии. То же самое говорит нам второе начало термодинамики: кубик льда, скорее всего, растает. Однако система находится ровно в одном конкретном микросостоянии, даже если мы не знаем точно, в каком. Можем ли мы быть уверены, что это не одно из того крошечного набора микросостояний, в которых энтропия способна в любое мгновение внезапно уменьшиться? Как гарантировать, что кубик льда не увеличится, одновременно нагрев окружающую его воду?