Вечность. В поисках окончательной теории времени

В основной текст книги я храбро включил несколько формул: пару авторства Эйнштейна и несколько выражений для энтропии в разных контекстах. Уравнение — это мощный символический объект, передающий огромный объем информации в невероятно компактной форме. Бывает полезно посмотреть на формулу, для того чтобы с восхищением понять ее смысл как точного выражения какой-то особенности нашего мира.

Однако давайте начистоту — формулы могут пугать. В этом приложении вы найдете очень краткое введение в экспоненцирование и логарифмирование — ключевые математические операции, которые применяются для описания энтропии на количественном уровне. Ничто из приведенного ниже в действительности не требуется для понимания основного содержания книги; встретив слово логарифм, просто смело идите вперед.

Возведение в степень

Эти две операции — возведение в степень и взятие логарифма — одинаково просты или сложны для понимания, ведь между ними много общего. На самом деле они противоположны друг другу: одна операция отменяет другую. Если выбрать какое-то число, возвести его в степень, а затем взять логарифм от результата, то мы получим то самое число, с которого начали. Как бы то ни было, со степенями мы в повседневной жизни сталкиваемся намного чаще, поэтому они нас не так ужасают. Начнем с них.

Операция возведения в степень означает, что мы берем некое число, называемое основанием, и возводим его в степень другого числа. То есть попросту умножаем основание само на себя ровно столько раз, в какую степень его требуется возвести. Основание записывается в виде обычного числа, а степень — в виде индекса сверху. Вот несколько простых примеров:

2² = 2 ∙ 2 = 4,

2⁵ = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 32,

4³

= 4 ∙ 4 ∙ 4 = 64

(Мы используем точку для обозначения операции умножения, а не символ ×, так как его очень легко перепутать с буквой x.) Один из самых удобных случаев возведения в степень — тот, когда в качестве основания берется число 10; в этом случае степень соответствует просто-напросто числу нулей справа от единицы:

10¹ = 10,

10² = 100,

10⁹ = 1 000 000 000,

10²¹ = 1 000 000 000 000 000 000 000

В этом и заключается идея возведения в степень. Если говорить конкретно о показательной функции, то здесь мы имеем в виду, что фиксируем какое-то определенное основание и позволяем степени, в которую возводится это основание, быть переменной величиной. Если обозначить основание через a, а степень — через x,

то получим:

a^x = a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a … a ∙ x раз.

К сожалению, это определение может создавать впечатление, что показательная функция имеет смысл только в том случае, если степень x — это положительное целое число. Как умножить число на само себя минус два раза? Или 3,7 раза? Здесь вам остается только верить, что магия математики позволяет определять показательную функцию для любого значения x. Результатом является гладкая функция с очень маленьким значением, когда x — отрицательное число, но резко возрастающая, когда x становится положительным, как показано на рис. П1.

^{Рис. П1. Показательная функция 10x. Обратите внимание, что она возрастает так быстро, что совершенно невозможно изобразить ее для больших значений x.}

Что касается показательных функций, есть две важные вещи, о которых необходимо помнить. Любое основание, возведенное в степень 0, равно 1, а любое основание, возведенное в степень 1, равно самому себе. Для основания 10 это выглядит так:

10⁰ = 1,

10¹ = 10.

Если степень — это отрицательное число, то результатом операции является число, обратное результату возведения в соответствующую положительную степень:

10^–1 = 1/10¹ = 0,1,

10^–3

= 1/10³ = 0,001.

То, что вы видите выше, — это всего лишь конкретные примеры из более общих свойств, которым подчиняется показательная функция. Одно из этих свойств является невероятно важным: если умножить два числа, представляющих собой одно и то же основание, возведенное в разные степени, то при перемножении степени складываются, а основание остается тем же самым:

10^x ∙ 10^y = 10^(x+y).

То же верно и в обратную сторону: показательная функция от суммы степеней равна произведению двух чисел, равных основанию, возведенному в эти степени.[312]

Большие числа

Нетрудно понять, почему показательная функция так полезна: числа, с которыми нам приходится иметь дело, иногда бывают чрезвычайно большими, а с помощью возведения в степень вы можете превратить число средней величины в просто огромное. Как мы обсуждали в главе 13, количество различных состояний, необходимых для описания возможных конфигураций нашего сопутствующего объема Вселенной, равно примерно

10^{10^120}