Великий треугольник, или Странствия, приключения и беседы двух филоматиков

— …если только у вас хватит терпения да и времени довести такой опыт до конца, — подтрунивает Ферма. — Но шутки в сторону! Закономерности больших чисел сыграют когда-нибудь немалую роль в жизни человечества. И, уж конечно, не потому, что с их помощью легче выиграть в монетку.

Паскаль лукаво и предостерегающе поднимает палец.

— Не вздумайте объяснять это шевалье де Мере: все равно не поймет.

— Где там! — смеется Ферма. — Это не для него. Так же как задача о разделении ставок. Ведь он, если не ошибаюсь, так и не решил ее?

— Насколько мне известно, нет.

— Зато это сделали мы с вами. И, в отличие от де Мере, получили один ответ…

— … несмотря на то, что решали врозь и каждый своим способом.

— По этому поводу вы изволили заметить в последнем вашем письме, что истина везде одна: и в Тулузе, и в Париже, — напоминает Ферма. — Еще одно точное определение! Вы чеканите словесные формулы с тем же совершенством, что и математические. Не удивлюсь, если в один прекрасный день мне скажут, что вы стали писателем.

Бледные щеки Паскаля розовеют: похвала не оставляет его равнодушным. И всё же… Вряд ли он отважится когда-нибудь взяться за перо!

— Как знать, как знать, — загадочно посмеивается Ферма. — Жизнь иной раз делает такие неожиданные зигзаги…

— Я вижу, размышления о случайностях настроили вас на философский лад.

— Вполне естественно. На мой взгляд, нет на свете науки более философской, чем наука о случайностях. Ведь она связана с самыми главными пружинами бытия!

— Вы хотите сказать, что миром правит случай?

— Конечно. Хоть это и не означает, что в нем царит хаос. Да ведь и случайность, как подумаешь, тоже проявление некой закономерности…

Паскаль вскакивает со своего диванчика и горячо пожимает руку Ферма. Давно у него не было такого счастливого вечера! Слышать от друга то, что приходит в голову тебе самому, — разве это не высшее счастье? Недавно, перечитывая Марка Аврелия, он, Блез, позволил себе не согласиться с этим древнеримским мудрецом, который никак не мог решить, что же господствует на земле — закономерность или случай? Но надо ли задаваться таким вопросом? Разве одно исключает другое? И разве не очевидно, что случай и закономерность сосуществуют в этом мире? Мало того: они неотделимы. Потому что закономерности возникают непосредственно из хаоса случайностей, подчиняясь неким таинственным, пока еще не изученным законам…

— Да, да, — поддакивает Ферма. — Именно так. И вот вам красноречивый пример. В последнее время я, как и вы, упорно размышляю о вопросах, связанных с нашей новой наукой. Но когда ищешь одно, нередко под руку подворачивается другое.

— Что же подвернулось вам?

Ферма таинственно прижимает палец к губам.

— Сейчас узнаете!

Великий треугольник Паскаля

Он встает, выходит из комнаты и тут же возвращается, держа в руках большую корзину.

— Что это? — изумляется Паскаль. — Пушечные ядра?

Ферма заливается счастливым смехом.

— Яблоки, дорогой мой! Яблоки из моего тулузского рая.

— О! — Паскаль тронут. — Как это мило с вашей стороны.

— То ли вы скажете, когда их попробуете! — откровенно хвастает Ферма. — Знаете что, вы ешьте, а я пока разложу яблоки на ковре… С некоторых пор я все время что-нибудь раскладываю и группирую: увлекся фигурными числами!

— Так это и есть ваш секрет?

— Мм… отчасти.

— Решили, стало быть, пойти по стопам Пифагора.

— Отчего же только Пифагора? Фигурными числами занимались еще в Древнем Вавилоне… Так вот, заинтересовавшись фигурными числами, я стал их выкладывать из чего придется. Чаще всего из яблок, благо этого добра у меня в доме всегда хватает. Выложу, например, как сейчас, несколько равносторонних треугольников. Первый треугольник — условный, он состоит из одного яблока. Второй — из трех, следующий — из шести, затем — из десяти…

— В общем, получился ряд треугольных чисел. Но что из этого следует? — торопит Паскаль.

— Теперь выложим яблоки пирамидками и получим пирамидальные числа, — тянет Ферма, словно не замечая нетерпения собеседника. — Один, четыре, десять, двадцать…

— А дальше? К чему вы клоните?

Ферма оставляет яблоки в покое, решив, вероятно, что достаточно помучил своего молодого друга.

— К чему я клоню? Просто мне захотелось узнать, как вычислить заранее, сколько понадобится яблок, чтобы выложить любое фигурное число, взятое, скажем, из ряда треугольных: 1,  3,  6,  10,  15,  21,  28… Или из пирамидальных: 1,  4,  10,  20,  35,  56,  84… Попутно я загорелся желанием выяснить, сколько вариантов группировок можно составить из некоего количества предметов или чисел.

По мере того как он говорит, лицо Паскаля становится все более напряженным.

— Так, так, продолжайте, — понукает он.

— Допустим, у нас есть восемь яблок, а лучше — восемь разноцветных шариков. Мы хотим узнать, сколько можно составить из них всевозможных группировок, раскладывая каждый раз по три шарика.

— Иными словами, найти число сочетаний из восьми по три.

Ферма глядит на Блеза с нескрываемым восхищением. У него поистине дьявольское чутье на точные термины! Но Паскалю не до похвал.

— Не отвлекайтесь, прошу вас. Дальше, дальше…