Великий треугольник, или Странствия, приключения и беседы двух филоматиков

Ферма пожимает плечами. Что же может быть дальше? Само собой, он стал искать способ, позволяющий определять число сочетаний.

— И нашли?!

— Ничего другого мне не оставалось!

Блез в изнеможении откидывается на спинку дивана. Невероятно!

— Не понимаю, что вас так поражает? — в свою очередь обескуражен Ферма. — Мой способ очень прост. Кажется, мы собирались найти число сочетаний из восьми по три? Отлично. Для этого пишем подряд все натуральные числа от единицы до восьми включительно. Затем объединяем три числа, стоящие слева: 1,  2,  3, и три числа, стоящие справа: 8,  7,  6, а потом перемножаем каждую тройку чисел и составляем из их произведений дробь. При этом левая часть будет знаменателем, а правая — числителем. Итак, что у нас получилось?

Вытащив из кармана длинную полоску бумаги, Паскаль производит подсчет:

^8×7×6/_1×2×3 = 56.

Ферма довольно потирает руки. Вот и число сочетаний из восьми по три. Нетрудно заметить, что оно к тому же число пирамидальное. И это не случайно. Потому что любое пирамидальное или треугольное число есть в то же время какое-нибудь число сочетаний.

Паскаль все еще сидит откинувшись на спинку дивана, но сейчас он уже не выглядит растерянным. Напротив: в глазах его светится затаенное торжество.

— Поздравляю, — произносит он медленно. — Вы меня удивили. Ну-с, а теперь ваша очередь удивляться.

На той же полоске, где только что подсчитывал число сочетаний, Блез быстро набрасывает группу чисел и передает бумажку Ферма.

— В то время как вы занимались фигурными числами, я копался в этом числовом треугольнике. Составить его, кстати говоря, побудили меня все те же размышления о теории вероятностей. Я нашел в нем кучу любопытных свойств…

— Каких?

— Сейчас расскажу. Но сперва условимся горизонтальные строки называть просто строками, а вертикальные — столбцами. И те и другие, как видите, перенумерованы начиная с нуля. А теперь обратите внимание на то, что каждое число в строке равно сумме чисел предыдущей строки, взятых начиная с единицы по число, стоящее над тем, которое мы рассматриваем. Вот хотя бы число 35 в третьей строке; оно равно сумме чисел, стоящих во второй: 1+3+6+10+15. Тем же свойством, само собой, обладают и числа в столбцах.

Следующее свойство: числа, находящиеся на наклонных линиях — я обозначил их пунктиром, — расположены симметрично: 1, 2, 1; 1, 3, 3, 1; 1, 4, 6, 4, 1 и так далее. Еще одно свойство: сумма чисел, расположенных на каждой наклонной линии, равна двойке в степени порядкового номера столбца или строки. Например, в четвертом наклонном ряду 1+4 + 6 + 4+1 = 16. А это и есть два в четвертой степени… Впрочем, стоит ли утомлять вас перечислением всех свойств? Вы их найдете в письме, которое я отправил в Тулузу несколько дней назад.

— Какое совпадение! — гудит Ферма. — Вы мне, а я вам!

— Да ну! — изумляется Паскаль. — Интересно, что сказал бы об этом Марк Аврелий… И все же позволю себе указать еще на одно — весьма важное — свойство моего арифметического треугольника: строки и столбцы с одинаковыми номерами неизменно совпадают. Например, столбец номер два и строка номер два представляют собой один и тот же числовой ряд: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36… Легко понять, что это числа треугольные, в то время как следующая строка — ряд пирамидальных. Отсюда, естественно, следует, что каждое из них есть какое-либо число сочетаний. Но самое интересное, что каким-нибудь числом сочетаний являются и все остальные числа этого треугольника. — Паскаль выдерживает небольшую эффектную паузу. — Что же касается числа сочетаний, то я вычисляю его почти тем же способом, что и вы, — заканчивает он небрежно.

Ферма потрясен. Выходит, оба они не только пришли к одному и тому же открытию не сговариваясь, но и одновременно отправили друг другу письма с подробным его описанием! Кто после этого станет сомневаться, что истина везде одна — ив Париже и в Тулузе?!

Он наполняет бокалы золотистой шипучкой.

— За великий треугольник Паскаля!

Судя по всему, сейчас последует второй тост. Но услышать ответные слова Блеза филоматикам не приходится: об этом позаботился Асмодей.

В доме на углу улицы Фомы

— Ну вот, — торжествует Мате, — а вы говорите — полное обращение! Насколько я понимаю, янсенизмом тут и не пахнет.

— Должен вас разочаровать, мсье. То, что вы видели сейчас, относится к более раннему времени, чем разговор в салоне мадам де Севинье. Просто временной бросок в прошлое был таким незначительным, что вы его не заметили.

Мате искренне огорчен. Так вот в чем дело! Выходит, обращение к янсенизму и отъезд в Пор-Рояль — все это еще впереди. А он-то надеялся…

— Не знаю, на что надеялись вы, — раздраженно перебивает его Фило, — зато я надеялся на автограф Мольера. О нем же пока что ни слуха ни духа!

— Безобразие! Чистое безобразие! — возмущается Асмодей, точно и не он всему причиной. — Пора положить конец этой вопиющей не-спра-вед-ли-во-сти. Приготовьтесь, мсье! Мы немедленно направляемся к Мольеру.

От неожиданности Фило хватается за сердце.

— Вы это серьезно? — спрашивает он внезапно осевшим голосом.