Великий треугольник, или Странствия, приключения и беседы двух филоматиков

Тут они начинают галдеть в два голоса разом (слушай не слушай, все равно ничего не разберешь!), и Фило спрашивает у Мате, кто из караульных, по его мнению, прав. Но тот говорит, что правы оба. Ведь вероятности выпадения что из восьми по пяти, что из четырех по три раза почти одинаковы. Вот если бы игроки условились, что при восьми бросках должен выпасть только один Луи, а то и вовсе ни одного, тут уж вероятность и вправду сильно уменьшится.

— Давайте разберемся, — предлагает Асмодей. — Только будем уж называть не Луи и лилия, а орел и решка. Где ваш блокнот, мсье Мате? Надеюсь, света из двери нам будет достаточно.

— Прибегнем к буквенным обозначениям, — предлагает тот, пристраивая блокнот на острых атласных коленках. — Орел — О, решка — Р. Думаю, всем ясно, что при одном броске вероятности выпадения О и Р совершенно одинаковы, то есть равны половине. Таковы же вероятности выпадения О и Р при каждом последующем, отдельно взятом броске, независимо от результатов предыдущих.

— Разумеется, мсье, — поддакивает бес. — Недаром французский математик девятнадцатого века Жозеф Бертран когда-нибудь остроумно заметит, что монета не имеет ни совести, ни памяти. Ей наплевать… пардон, я хотел сказать, ей все равно, какой стороной она соизволила шлепнуться в предыдущие разы, и это обстоятельство имеет немаловажное значение в теории вероятностей.

— Если же, — продолжает Мате, — при двух бросках учитывать результаты обоих, то возможны четыре случая: ОО, ОР, РО и РР. И если, сверх того, по условию игры очередность выпадения О и Р безразлична, то в имеющемся у нас ряде случаев элементы ОР и РО можно заменить их суммой: 2ОР. Ибо ОР+РО = 2ОР. Так ведь? С другой стороны,

(О + Р)² = О² +2ОР + P², а это и есть OO + 2OР + РР.

— Само собой! — важно кивает Фило.

— Посмотрим теперь, что происходит при трех бросках. Здесь уже возможны восемь случаев:

ООО, ОРО, РОО, РРО, PPP, OOP, OPP, POP.

Преобразуем это хозяйство тем же способом: ООО, ЗООР, ЗОРР, РРР. И снова (О + Р)³ = О³ + ЗО²Р + ЗОР² + Р³. При четырех бросках в нашем распоряжении уже 16 случаев. Стало быть, (О+Р)⁴ = О⁴ + 4О³

Р + 6О²Р² + 4ОР³ + Р⁴. Взглянув на все это вместе, мы увидим, что все время имеем дело с двучленом, иначе говоря, биномом О+Р, возводимым каждый раз в иную степень. Причем показатель степени бинома соответствует числу бросков. При двух бросках перед нами бином в квадрате, при трех — в кубе и так далее. Затем, обратив внимание на правые части наших равенств, увидим, что показатели степени при О и Р всякий раз указывают на заранее условленное число выпадений О или Р, а числовые коэффициенты при этих слагаемых — на число благоприятных случаев. Сумма же всех этих коэффициентов представляет собой общее число всех возможных случаев. И так как вероятность события есть отношение благоприятных случаев к числу всех возможных, то вероятность выигрыша (р) в данном случае равна отношению коэффициента соответствующего слагаемого к сумме всех коэффициентов.

— Все это очень хорошо, — мнется Фило, — но весь вопрос в том, как вычислить коэффициенты заранее? Тем более — их сумму. Допустим, игроки условились бросать монету не по восьми, а по двадцати восьми раз, — что тогда?

— Хороший вопрос, — одобряет Асмодей. — Из него следует, что нам необходимо вывести общее правило вычисления коэффициентов для любого количества бросков, иначе говоря — для любой степени бинома: О плюс Р в степени п.

— Начнем с того, что выпишем биномы для каждой степени в отдельности, — предлагает Мате. — Ну, в нулевой степени бином, естественно, превращается в единицу.

(O + P)⁰ = 1

(О + Р)¹ = О + Р,

(О + Р)² = О² + 2ОР + Р²,

(О + Р)³ = О³ + ЗО²Р+ЗОР²+Р³,

(О + Р)⁴ = О⁴ + 4О³Р + 6О²Р²

+ 4ОР³ + Р⁴.

Остается выписать отдельно все коэффициенты:

1

1  1

1  2  1

1  3  3  1

1  4  6  4  1

— Ой, — изумляется Фило, — ведь это же треугольник Паскаля! Прекрасно помню, что по наклонным линиям числа там расположены симметрично.

— Умница! — одобрительно зыркает на него Мате. — Теперь вам легко понять, что любой коэффициент при возведении бинома в степень есть не что иное, как некое число сочетаний. А сумма всех коэффициентов данной строки равна двум в степени бинома, то есть номера строки.

Некоторое время Фило сидит молча. Ему необходимо переварить все эти неожиданные для него совпадения. До чего все связано! То-то он никак не мог уразуметь, почему это Ферма и Паскаль, занимаясь теорией вероятностей, обратились вдруг к фигурным числам и формуле сочетаний? А сочетания, оказывается, имеют для теории вероятностей немалое значение.

— Вообще, как я погляжу, — продолжает он уже вслух, — в науке одно постоянно вытекает из другого. Это похоже на разветвленную водную систему, состоящую из тысяч ручейков, речушек и рек…