Великий треугольник, или Странствия, приключения и беседы двух филоматиков

Паскаль молча кланяется и, подойдя к стоящей у камина грифельной доске, выписывает на ней две таблицы.

— Как видите, — поясняет он, — арифметический треугольник изображен здесь в двух видах: в числовом и условном, где каждый член его выражен через число сочетаний из номера строки по номеру своего места в ней. Разумеется, верхней строке и первому числу каждой строки присвоен нулевой номер. Далее обратите внимание на то, что все сочетания, у которых верхний индекс нуль, равны единице. Почему это так, понять нетрудно. Стоит только сравнить обе таблицы. Выберем, допустим, шестую строку (ее порядковый номер 5) и рассмотрим два ее числа, хотя бы 5 и 5. Одно из них в условном треугольнике обозначено как C₅¹, второе — как C₅⁴. Но ведь числа эти равны между собой, ибо каждое из них порознь равно 5: C₅¹= C₅⁴ = 5. В свою очередь C₅¹ можно записать как

C₅^5—4. И если это обобщить для любой строки (n) и любого порядкового числа в ней (m), то получится любопытное свойство сочетаний: С_п^m = С_п^n—т (це из эн по эм равно це из эн по эн минус эм). Отсюда ясно, что так как с одной стороны С_nⁿ = 1, а с другой Спn = С_п^n—п = С_n⁰

, то и выходит, что C_n⁰ = 1. Ну, а дальше уж, для общности правила, условились и С₀⁰ тоже считать единицей. Вот вам простой и удобный способ отыскивать любое, даже самое большое число сочетаний. И потому вопрос, чему равно, скажем, число сочетаний из тысячи по девятисот девяноста девяти, не должен пугать даже школьника, — вычислить это проще простого:

— За-за-замечательно! — восхищается Тарталья. — Я бы до такого ни-ни-никогда не додумался.

— Не клевещите на себя, дорогой мэтр Тарталья, — протестует Паскаль. — Просто вы жили на сто лет раньше, и время формулы сочетаний еще не пришло. А теперь попрошу нашего досточтимого председателя предоставить слово мэтру Лейбницу, ибо я горю желанием узнать, что сделал с арифметическим треугольником он.

— С величайшим удовольствием! — кивает Пифагор. — Тем более, что я и сам давно дожидаюсь такого случая.

— Собственно говоря, я шел по стопам мэтра Паскаля, — уголками рта улыбается Лейбниц, — но мой треугольник составлен в обратном порядке. Так сказать, шиворот-навыворот. Прежде всего вместо целых чисел я взял дробные. А уж из этого вытекает и все остальное.

Он вытирает доску влажной тряпкой и пишет на ней другую таблицу.

— Этот свой треугольник я назвал гармоническим, — поясняет он.

— Превосходно! — горячо одобряет Пифагор. — Всегда говорил, что главное в мире — гармония.

— Вполне с вами согласен, — кланяется Лейбниц. — Но название это объясняется тем, что в правом и левом наклонных рядах моего треугольника стоят числа, которые принято называть гармоническим рядом: 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7… Особенность этого ряда заключается в том, что сумма его членов: 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7… не стремится ни к какому определенному числу — иначе говоря, она бесконечна. Не то что, скажем, другой ряд: 1/2 + 1/2² + 1/2³ + 1/2⁴ + 1/2⁵ +… = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/ 16 + 1/32 +… сумма которого стремится к единице. Так вот, если в треугольнике мэтра Паскаля каждое число равно сумме двух чисел, стоящих НАД ним (справа и слева), то в моем треугольнике каждый член равен сумме чисел, стоящих ПОД ним (также справа и слева). Например 1/6 = 1/12 + 1/12. А потому, если в треугольнике мэтра Паскаля общий член выражается формулой С_n^m, то в моем он выглядит так:

Вот, например, в третьем ряду сверху второй член таков:

— О-о-очень любопытно! — восклицает экспансивный Тарталья.

— Но это еще не всё! — продолжает Лейбниц. — Выберем какой-нибудь наклонный ряд — скажем, второй: 1/2  1/6  1/12  1/20  1/30 1/42. Начнем вычисление с любого, хотя бы со второго его члена, то есть с 1/6. Тогда из сказанного о законе образования членов треугольника прежде следуют такие равенства:

1/6 — 1/12 = 1/12

1/12 — 1/20 = 1/30

1/20 — 1/30 = 1/60

1/30 — 1/42 = 1/105

. . . . . .

Сложим почленно правые и левые части этих равенств. Все равные слагаемые в левых частях, имеющие противоположные знаки (плюс и минус), взаимно уничтожатся, и останется только первое число 1/6. Значит, 1/6 = 1/12 + 1/30 + 1/60 + 1/105 +… Но ведь правая часть этого равенства есть сумма всех чисел следующего за этим наклонного ряда, начиная с 1/12 и до бесконечности. И если в треугольнике мэтра Паскаля каждый член равен конечной сумме чисел, стоящих СЛЕВА и рас положенных НАД данным числом, то в моем треугольнике каждое число равно бесконечной сумме чисел, стоящих СПРАВА и ПОД данным.

Вот, собственно, и всё.

Паскаль встает и горячо пожимает руку слегка утомленному оратору.

— Благодарю! Благодарю вас, многоуважаемый мэтр Лейбниц, от имени всех присутствующих, а от себя — особенно. Ваши бесконечные ряды доставили мне бесконечное удовольствие. Потому что бесконечность во всех ее проявлениях — предмет моего самого пристального внимания.