Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

Искусство математики заключается в том, чтобы найти этот особый случай, содержащий в себе все истоки обобщенности.

Давид Гильберт

Брауэр перенял эту живописную философию математики Пуанкаре, с которым лично встретился в 1909 году. В противоположность платонизму и логицизму, утверждающим, что математические истины открываются сами, интуиционизм утверждает, что на самом деле они изобретаются (этот тезис сближает его с формализмом). Однако на вопрос, где находится математическая точность, интуиционизм Брауэра отвечает: «разум», а формализм Гильберта: «бумага».

У Брауэра и Гильберта, которые познакомились во время отпуска в 1909 году, имелись две конфликтные темы: прежде всего это природа математики — как свободная конструкция человеческого понимания или как аксиоматическая теория — и роль принципа исключенного третьего в математике. Нерв интуиционизма именно в отрицании этого логического принципа, отсылающего к Аристотелю и утверждающего, что дизъюнкция пропозиции и ее отрицание — это логическая истина, то есть она всегда истинна, в любой модели или вселенной толкования (Av ¬A). Другими словами, либо А истинно, либо истинно отрицание А, потому что любой третий вариант систематически исключен (именно поэтому говорят об «исключенном третьем»). Наряду с принципом непротиворечия (¬(A^¬A)) и принципом идентичности ((перевернутое A)x(x = х)) этот принцип образовывал три классических закона рассуждения.

Однако для Брауэра это необязательно было так. Поскольку мы не знаем, содержит ли десятичное продолжение числа 20 нулей подряд, пропозиция «десятичное продолжение числа содержит 20 нулей подряд» не является (и в этом ключ к интуиционизму) ни истинной, ни ложной. Ее истинность на сегодняшний день не может быть определена. Один единомышленник Брауэра утверждал, что принцип исключенного третьего для такого типа пропозиций может быть справедливым для Бога (Он знает всю бесконечную последовательность знаков после запятой такой, как она есть), но такое невозможно для человеческой логики. Совершив разворот на 180° по отношению к логистической догме, интуиционисты считали такую логику ответвлением математики, а не наоборот.

Этот образ мысли положил начало тому, что с тех пор известно как «интуиционистская логика», формализованная прилежным учеником Брауэра Арендом Гейтингом (1898— 1980). В классической логике двойное отрицание пропозиции равносильно пропозиции, то есть ¬¬А->А. Но интуиционистская логика отрицает, что из двойного отрицания пропозиции можно вывести исходную пропозицию. Следовательно, ¬¬А->А не принимается. Этот интуиционистский пересмотр классической логики отвечает на вопрос: почему Брауэр отвергал рассуждения доведением до абсурда (к которым нередко прибегал Гильберт)? Доказательством ложности отрицания А не доказывалось, что А истинно, поскольку был оставлен принцип исключенного третьего.

Нидерландский математик считал справедливыми только конструктивные доказательства. Доказать, что отрицание теоремы противоречиво, — неравносильно доказательству, что теорема истинна, поскольку, прежде чем доказать последнее, нужно открыто сконструировать ее содержание. Для математиков-интуиционистов неконструктивные доказательства существования (доведением до абсурда) свидетельствуют о том, что в мире есть скрытое сокровище, но не указывают его местонахождение, поэтому такие доказательства имеют исключительно эвристическую ценность. Для существования математического объекта недостаточно, чтобы он не порождал никакого противоречия; нужно ввести эффективную процедуру его построения.

Парадоксы, открытые в рамках теории множеств, по мнению Брауэра, явно представляли собой опасность для чисто экзистенциальной математики. Не зря Кронекер всегда ожесточенно спорил с Кантором о том, что если не построить множества, о которых тот говорил (а он не мог их построить, поскольку подавляющее большинство их было бесконечным), теоремы теории множеств растворятся в воздухе. Нужно было вернуться на путь греческой математики, которая была конструктивной, а значит интуиционистской, при этом бесконечность присутствовала только в потенции, но никогда не была актуальной. Гаусс уже высказывал подобное мнение: «Я прежде всего протестую против применения бесконечной величины как завершенной, в математике это никак не допустимо.

Понятие бесконечности есть лишь способ выражения понятия предела». Для интуиционистов все трудности оснований математики исходили из использования бесконечности как чего-то законченного и идеального. Это нарушение происходит при попытке определить реальное число, такое, например, как число = 3, 141592... Это многоточие после первых знаков после запятой создает у нас ложное ощущение, будто перед нами закрытый объект.