ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

- Конечно, - сказал Радикс. - Такое расположение имеет важное значение при изучении места отдельных атомов или молекул в кристаллах. Они там тоже так уложены. Представь себе, что математики пришли к этой мысли раньше, чем физики! И все эти числа получить очень просто. Возьми-ка мел и пиши. В первом столбике напиши одну под другой пять единиц; во втором - те числа, которые ты видишь в пирамиде ядер сбоку; в третьем столбике - треугольные числа, а в четвертом - пирамидальные.

Илюша взял мел и написал то, что изображено справа.

- Смотри, какая у тебя получилась табличка. Каждое число в любой строке равно сумме того числа, которое стоит над ним, и того, которое стоит слева от него. Видишь?

- Верно, - отвечал Илюша. - Например, десять равно шести плюс четыре!

- А теперь, - продолжал его друг, - ты видишь, что эту табличку очень легко продолжить по этому правилу.

Добавь-ка еще четыре единички в первой строке и три в первом столбце и заполни таблицу. И в каждой строке пиши одним числом меньше, чем в верхней. Ну-ка, пиши поскорей!

Илюша написал единицы, и у него получилась табличка, изображенная слева.

- Эта замечательная табличка называется треугольником Паскаля, - сказал Радикс, - потому что она была составлена французским математиком семнадцатого века Блезом Паскалем.

- Это тот самый, про которого ты вспоминал, когда Великий Змий пришел пробирать нас? - спросил Илюша.

- 125 -

- Он самый, - торжественно произнес Радикс. - Эту табличку до Паскаля, веком раньше, построили итальянские математики. Но в то время известия о новых открытиях распространялись не так быстро, как теперь. Мало того, что этот треугольник дает натуральные числа, треугольные, пирамидальние и многие другие, которые в общем называются фигурными числами, он дает еще более полезные и важные указания. Вот я его сейчас перепишу по-другому.

Радикс взял мел и написал то, что изображено слева.

- Посмотри, - сказал он. - Тебе эти цифры ничего не напоминают?

Илюша внимательно посмотрел новую табличку, подумал, потом сказал:

- Один, два, один - это похоже на сто двадцать один, то есть на квадрат одиннадцати.

Потом Илюша взял мел и начал что-то старательно множить.

- Четвертая строка, - сказал он, - это будет куб одиннадцати, а пятая - четвертая степень одиннадцати.

- Правильно, - отвечал Радикс. - Ну, а кроме этого, ты ничего не замечаешь?

- Нет, - сказал Илюша, подумав, - больше, кажется, ничего.

- А помнишь ты формулу квадрата и куба суммы?

- Конечно!

- А как там идут коэффициенты?

Илюша помолчал, посмотрел на Радикса, потом на табличку и затем написал:

(а + b)² = а² + 2ab + b².

(а + b)³ = а³ + 3a

²b + 3ab² + b³.

Внимательно посмотрев на эти хорошо знакомые формулы, а затем снова на табличку Радикса, Илюша сказал:

- А ведь верно! Если взять квадрат суммы, то при а² коэффициент единица, при ab-двойка, а при b²-снова единица, то есть коэффициенты идут, как в третьей строке: 1-2-1.

И в кубе суммы тоже идут, как в четвертой строке: 1-3-3-1.

Илюша умножил куб суммы на первую степень суммы и, довольный, сказал:

- Ну это просто замечательно! И в четвертой степени у нас получается:

и, значит, коэффициенты идут опять, как здесь, в последней строчке: 1-4-6-4-1.

- 126 -

- Ну, так вот, - продолжал, улыбаясь, Радикс, - значит, с помощью этого треугольника, если ты его продолжишь (а как ты видел, это очень просто), ты можешь написать сумму в любой степени. Ты должен только запомнить еще одно нехитрое правило: степени первого слагаемого уменьшаются от той степени, в которую ты возводишь сумму, до нулевой, а степени второго слагаемого идут как раз в обратном порядке- от пулевой до старшей.

- Действительно так, - сказал Илюша, посмотрев на четвертую степень суммы.

- И это еще не все, - сказал Радикс. - Ты еще немало узнаешь в дальнейшем про эти числа. Они многое могут делать. Узнаешь также, что у Арамиса были весьма серьезные основания интересоваться этим треугольником (AJI-I, XII).

- Вот почему он и сказал про двести семьдесят шесть ядер?

- Двести семьдесят шесть и двести пятьдесят три - это два пирамидальных числа. Но тут есть вещи и посерьезнее.

Дело в том, что этот треугольник учит храбрых пушкарей не только складывать ядра в кучи: он учит их еще и стрелять из пушек! А самое главное, он учит их попадать этими ядрами как раз туда, куда следует, чтоб отвадить непрошеных гостей, которые падки на чужое добро!

- 127 -

Схолия Восьмая,