Хаим Шапира

Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

Haim Shapira

EIGHT LESSONS ON INFINITY

A Mathematical Adventure

© Haim Shapira, 2019

© Прокофьев Д. А., перевод на русский язык, 2021

© Издание на русском языке, оформление. ООО «Издательская группа «Азбука-Аттикус», 2021 КоЛибри®

⁂

Посвящается вам, Даниела, Таль и Инбаль

Предисловие

Если бы мне пришлось начать вновь свое обучение, то я последовал бы совету Платона и принялся бы сперва за математику[1].

Галилео Галилей

Английский биолог и популяризатор науки Ричард Докинз заметил однажды, что никто и никогда не признается с гордостью в невежестве и необразованности по части литературы, но неосведомленность в точных науках, ярче всего воплощающаяся в абсолютном незнании математики, вовсе не считается чем-то постыдным. Докинз заметил это обстоятельство не первым: он и сам указывает, что это утверждение давно превратилось в клише.

Это, разумеется, истинная правда. Никто не станет хвалиться, что никогда не читал книг, не видел ни одного произведения искусства, никогда – ни разу в жизни – не был растроган музыкой. Если провести опрос, я совершенно уверен, что не найдется ни одного образованного взрослого человека, никогда не слыхавшего о Шекспире, Рембрандте или Бахе. По всей вероятности, участники такого опроса знали бы и имена великих математиков Пифагора, Исаака Ньютона и Альберта Эйнштейна. Но многие ли слышали о Леонарде Эйлере, Сринивасе Рамануджане или Георге Канторе?

Возможно, в этот самый момент вы тоже спрашиваете себя: «Что? Кто это такие? Их имена ни о чем мне не говорят».

Это великие математики. Величайшие математики!

Я всерьез увлекаюсь музыкой, литературой и изобразительным искусством, но искренне считаю, что математические формулы Рамануджана – такое же чудо, как музыкальные построения Баха, а открытия Кантора, касающиеся бесконечности, кажутся мне не менее поразительными, чем произведения Шекспира.

И раз уж мы сравниваем гениев художественного творчества с гениями математики, я хотел бы отметить, что Кантор был специалистом по творчеству Шекспира, а Эйнштейн – прекрасным пианистом и скрипачом. Такое встречается очень часто, и я знаю много математиков, чрезвычайно хорошо знающих литературу, искусство и музыку.

Более того, немецкий математик Карл Вейерштрасс сказал как-то, что математик, в котором нет ничего от поэта, не может быть хорошим математиком. Однако создается впечатление, что этот принцип не действует в обратном направлении: многие из тех, кто работает в области литературы, музыки или изобразительного искусства, по-видимому, испытывают неприязнь к математике.

В чем тут дело? Почему столь многие люди, какими бы образованными они ни были, чураются замысловатости и красоты, которые можно найти в мире чисел и их связях друг с другом?

Возможно, главная причина заключается в неприступности математики и тех трудностях, с которыми сталкиваются желающие познать ее. Действительно, математика весьма сложна, и, чтобы разобраться в ее хитросплетениях, необходимо затратить время и приложить умственные усилия – но и за особо изысканными жемчужинами иногда приходится нырять до самых недоступных глубин.

Мысль написать эту книгу явилась мне однажды, когда я перебирал свою математическую библиотеку. Я заметил, что мои сочинения по большей части относятся к одной из двух категорий:

1. Математические книги, написанные для неспециалистов. Некоторые из них совершенно замечательны, но они в большей степени посвящены рассказам о математике, чем самой математике.

2. Математические книги, написанные для математиков. В этой категории тоже есть множество превосходных работ, но прочесть (и понять) их могут только математики.

Поэтому я решил написать книгу, которая относилась бы еще к одной, третьей категории. Я расскажу читателю-неспециалисту просто и ясно о двух математических теориях, которые считаю самыми завораживающими, – теории чисел и теории множеств, и каждая из них имеет отношение к бесконечности. Вместе с этим я предложу стратегии математического мышления, позволяющие читателю испытать свои способности к решению поистине увлекательных математических задач.

Для меня важно, чтобы эту книгу мог с удовольствием читать любой человек, достаточно любознательный и стремящийся время от времени поработать головой. Поэтому я воздержался от использования любых устрашающих математических символов (нигде в этой книге вы не найдете никаких