Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Эбби была права. Если вернуться в детство математического анализа, Иоганн Бернулли писал об угрозе неберущихся интегралов. «Иногда мы не в состоянии сказать с полной уверенностью, можем ли найти интеграл заданной величины». В XIX в. математик Жозеф Лиувилль сказал об этом с определенностью: некоторые интегралы взять нельзя. Например, или ∫ ln (lnx) dx, или У этих интегралов нет чистых решений, точнее говоря, они «неразрешимы в элементарных функциях». Соберите все синусы, все косинусы, все логарифмы и кубические корни, какие вам захочется, но ни одна из стандартных алгебраических «отмычек» никогда не подойдет к формуле. Это замок без ключа, загадка без ответа, жесткий стейк в мире 10 000 ложек.

Я смотрел на символы. Большая загогулина не значила для меня ничего, пока еще нет. «Мы начнем матан через девять месяцев, – заметил ранее мой друг Роз, – и ты знаешь, что это означает: кто-то залетел от моего графического калькулятора». Шутку Роза я понял, но шутка выпускников ускользнула от моего ума.

Перенесемся на восемь лет вперед.

Моя первая работа в качестве преподавателя заставила меня задуматься о торговле подержанными автомобилями на окраине китайского квартала Окленда. Однажды на третий год преподавания я показал своим ученикам продвинутого курса математического анализа неберущийся интеграл: ∫ e^−x2 dx. В витиеватых и напыщенных выражениях я разъяснил его нерешаемость.

– Спойлер! – выкрикнула Адриана.

Несколько студентов покачали головами.

Но Бетсайда задала мне провокационный вопрос:

– Так у него нет области под кривой?

Ага, хорошая задачка! Думаю, никто не удивился, что я был небрежен и понятия не имел, как ответить на этот вопрос. Выяснилось, что у функции e^−x2 есть чрезвычайно красивый график.

Если вы возьмете конкретную ограниченную область – скажем, от 0 до 1, или от 0,9 до 1,3, или от –1,5 до 0,5, то в самом деле найдете ответ.

Тогда почему интеграл «неберущийся»? Потому что нет хорошей формулы для определения этой площади. Наша волшебная палочка – фундаментальная теорема математического анализа, которая вычисляет интегралы, беря антипроизводные, – здесь оказывается просто бесполезным прутиком. Машите ею хоть сотню лет: никакого магического ответа так и не появится.

– Мой графический калькулятор может это сделать, – сказал Ю Ханг. – То есть, если судить по вашим словам, он умнее всех математиков в мире.

– Ну… – я закашлялся. – Он определенно быстрее аппроксимирует интегралы через суммы Римана.

Самое лучшее, что мы можем сделать с такими функциями, – это аппроксимация. Мой тон выдавал мои предрассудки. Аппроксимация – это не настоящее решение. Она приблизительная. Второразрядная. Не считается.

– А вы уверены? – подзуживал Ю Ханг. – Этот калькулятор, кажется, умнее меня.

Когда урок закончился, я выскользнул из класса через заднюю дверь, которая в стиле Нарнии вела в кабинет статистики. Ее я преподавал первый год и все время спотыкался. Все мои инстинкты были чисто математическими, все доказательства и абстракции для статистики не подходили. Я чувствовал себя так, как будто перепутал виды спорта, словно учу детей сбивать подпрыгивающим теннисным мячиком кегли.

– Средний рост взрослого мужчины в США составляет 178 см, – начал я, – а стандартное отклонение – 9 см. Как много мужчин по нашим ожиданиям могут при этом иметь рост, по крайней мере, 2,14 м?

Как и очень многое в статистике, эта задача основывается на пологом уклоне кривой нормального распределения, также известной как колоколообразная кривая[64]. Ее широко распространенная форма описывает ошибки в измерениях, диффузные частицы, показатели IQ, количество осадков, результаты большого количества подбрасываний монеты, а также, с некоторыми оговорками, рост человека. Итак, начинаем.

Шаг 1: 2,14 м – это 214 см.

Шаг 2: Это на 36 см больше среднего значения.

Шаг 3: Это четыре стандартных отклонения от среднего роста.

Шаг 4: Мы обращаемся к таблице в конце учебника и узнаем, что четыре стандартных отклонения соответствуют процентилю… Хм, в действительности таблица обрывается на 3,5 стандартных отклонениях. Упс!

Шаг 5: Извинившись, я вытаскиваю ноутбук и запускаю Excel, который может провести нас за край таблицы. Наш ответ – 0,999968. Другими словами, люди ростом 2,14 м встречаются в США с 99,9968 процентиля – приблизительно 1 на 30 000 человек.

Мы анализировали этот результат – иначе говоря, спорили об относительных преимуществах Шакила О'Нила[65] по сравнению с Яо Мином[66], – когда меня вдруг осенило, что без всякого плана или предварительного намерения я провел два следующих друг за другом и очень разных урока по одной и той же теме.

Видите ли, кривая нормального распределения, которую мы используем, выглядит так:

Это просто сглаженная версия графика функции: она сдвинута и приплюснута, но в душе остается той же самой функцией. Что означает: у нее нет интеграла. И тем не менее мы тут сидим и ее интегрируем. Каждый день. Постоянно.