Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космических орбит до квантовых полей

Только в 1911-м постоянная h была «наконец» использована для вычисления энтропии газа – использована в качестве предустановленного размера «ячеек», которого не хватало Больцману, чтобы вычислить количество реализаций каждой макроскопической картины и найти абсолютное значение энтропии из формулы, которая теперь сопровождает его навсегда. Впечатляющим образом энтропия, найденная с использованием формулы Больцмана, совпала с экспериментально определенным значением, если в качестве фиксированного «размера» использовалась именно постоянная h; правда, это были ячейки не для энергии. Точное выражение для энтропии (результат вычисления «числа ячеек» и применения формулы Больцмана) носит имена своих первооткрывателей Тетроде и Саккура[194]; эксперимент по его проверке, который оказался осуществимым для паров ртути, потребовал и остроумия, и использования ранее полученных данных о нескольких других величинах. Установленное совпадение свидетельствовало о нескольких фактах сразу: формула Больцмана работает, а абсолютно точной делается тогда, когда отдельные состояния каждого движущегося атома/молекулы – это ячейки фиксированного размера h

. Но только где или в чем эти ячейки?

Ячейки, которые отмеряет буква h, – это площади некоторых «площадок», но не в обычном пространстве, а в воображаемом, однако напрямую связанном с движением. Состояние каждого атома или молекулы – это три координаты и три компоненты количества движения; они сами собой разбиваются на пары: координата вдоль выбранного направления 1 и количество движения вдоль того же направления 1; аналогично координата вдоль направления 2 и количество движения вдоль того же направления 2; и разумеется, то же для направления 3 (рис. 9.14 слева). Возьмем для начала пару, отвечающую направлению 1, и представим эту пару чисел графически – точкой на воображаемой плоскости, как показано на рис. 9.14 справа. На этой плоскости проведены две оси: горизонтальная отображает координату 1 из обычного пространства, а вертикальная – количество движения вдоль того же направления 1. Когда мы точно так же поступим с координатами атома и компонентами его количества движения вдоль направлений 2 и 3, получится три воображаемые плоскости. Будем временно называть каждую из них Плоскостью действия. На рис. 9.14 изображена только одна из них, отвечающая направлению 1, и на ней мы и сконцентрируемся (с двумя другими все совершенно аналогично). Постоянная Планка h – это предустановленная площадь, определяющая размер «ячеек» на Плоскости действия. Этими ячейками могут быть прямоугольники любых пропорций, но фиксированной площади, как показано на рис. 9.15. Всю область

на Плоскости действия, которая в принципе доступна данной частице (положение вдоль оси 1 при соответствующем количестве движения вдоль той же оси), следует «нарезать» на кусочки площади h каждый; число кусков и есть число состояний (с пониманием, что аналогичное вычисление надо проделать и для двух других Плоскостей действия, а результаты перемножить). Это число состояний отправляется в формулу Больцмана, которая в течение пары десятилетий и мечтать не могла о подарке в виде предустановленного размера. В подобном качестве постоянную h иногда называют квантом действия; эта постоянная, отмеряющая «размер ячеек», имеет совсем иной характер по сравнению с уже встречавшимися нам скоростью света c и гравитационной постоянной G

: это не скорость и не стандартизованная сила, но Вселенная без нее тоже не продается[195].

Рис. 9.14.Слева:

движущийся атом, схематично представленный положением в пространстве (жирная точка) и стрелкой, которая выражает его количество движения. Точка задается своими координатами по каждой из осей 1, 2 и 3. Вокруг стрелки выполнено построение, из которого видны ее компоненты вдоль тех же осей. Справа: воображаемая плоскость, где на горизонтальную ось перенесена координата атома вдоль оси 1, а на вертикальную ось – его количество движения вдоль той же оси. Положение точки на плоскости, таким образом, кодирует одну координату и одну компоненту количества движения атома

Рис. 9.15. Несколько прямоугольников на Плоскости действия, которые имеют одну и ту же площадь