Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космических орбит до квантовых полей

Лейтенант Иванова, дежурившая на мостике звездолета, не обратила внимания на форму появившегося вдали небесного тела, а ввела в компьютер только его массу и расстояние до его центра, т. е. до середины перемычки. Компьютер вычислил силу притяжения в виде, который нам удобно записать в условном виде 2 · «до центра». «До центра» означает, что расстояние в законе тяготения Ньютона надо полагать равным расстоянию до центра всей гантельной конструкции, а двойка отражает наше знание о том, что полная масса небесного тела состоит из двух частей. Иванова, конечно, правильно определила полную массу, но еще не осознала, что две части разнесены друг от друга. Прочитав следующие несколько строк в «Справочнике звездоплавателя», она пришла в ужас от сделанной ошибки. На большом расстоянии от странного небесного тела не слишком важно, как в нем распределена масса, но по мере приближения это будет делаться все существеннее – и на основе неправильной информации компьютер проложит неверный курс. Правильная формула для силы притяжения имеет вид («до ближней» + «до дальней»), где участвуют два различных расстояния, до ближней и до дальней массы. Стереть что бы то ни было в корабельном компьютере невозможно, и все, что может предпринять Иванова для исправления ситуации, – добавить информацию, каким-нибудь приближенным способом учитывающую, что две массы не сидят в одной точке. Она записывает разницу между верным и неверным (не-слишком-верным) выражениями для силы: ((«до ближней» + «до дальней») – 2 · «до центра»), а затем переписывает то же самое другим способом: ((«до ближней» – «до центра») – («до центра» – «до дальней»)). Она знает, что если выражение зависит от расстояния как 1/R², то разность таких выражений, вроде («до ближней» – «до центра»), зависит от расстояния приблизительно как 1/R³. Это, кстати сказать, общее правило, следующее из математики, а не из закона тяготения; если бы сила вела себя как 1/R³, то разница двух сил вела бы себя как 1/R⁴ и так далее. Лейтенант Иванова применяет это правило к каждой из двух внутренних скобок в приведенном выше выражении. Таким путем она приходит к выводу, что поправка к первоначальному выражению для силы притяжения со стороны гантели представляет собой разность двух выражений, каждое из которых зависит от расстояния как 1/R³. Иванова не останавливается: к полученной разности двух однотипных выражений с зависимостью 1/R³ она снова применяет общее правило (которое хорошо помнит еще с первого курса летного училища). В итоге она заменяет всю поправку на одно выражение, ведущее себя в зависимости от расстояния уже как 1/R⁴. Звездолет спасен (он и не собирался подлетать к гантели так близко, чтобы понадобились поправки к поправкам, зависящие от «следующих» обратных степеней расстояния), карьера Ивановой успешно продолжается, а метод получения поправки, зависящей от расстояния как 1/R⁴ (как и всех «следующих» поправок), оказывается отличным средством и для реальных планет – во всех случаях, когда их масса не распределена равномерно по шару.

«Издевательское» решение задачи трех тел. Математическая победа над задачей трех тел – колоссальный прорыв после решения задачи двух тел Ньютоном – почти состоялась. Почти, но не совсем. С самого начала, конечно, никто не ожидал готовых формул для всего бесконечного разнообразия возможных движений в системе трех тел, но ведь не все математические функции задаются каким-то внутренним образом, как, скажем, синус, sin t. Есть менее амбициозные способы определить функцию, один из них – в виде «бесконечной суммы» слагаемых, каждое из которых выглядит просто. Собственно, сам синус можно записать в таком виде:

Числа в знаменателях накапливаются здесь в соответствии с несложным правилом (так называемые факториалы): 6 = 2 · 3, 120 = 2 · 3 · 4 · 5, 5040 = 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7, 362 880 = 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 и так далее – с пониманием, что не надо останавливаться в прибавлении слагаемых. Вся информация о функции, собственно, и содержится в этих коэффициентах. Если остановиться, например, после пяти слагаемых, получится не точное значение синуса числа t, но достаточно близкое к точному, если t мало; если же число t не мало, то надо продолжить добавлять слагаемые, следуя правилу их построения[75].