Закат Европы. Том 1

Всякая пропорция предполагает постоянство элементов, всякая трансформация – их изменчивость: достаточно сравнить теоремы о подобии у Эвклида, доказательство которых в действительности основано на наличии отношения 1:1, с современным их выводом при помощи круговых функций.

14

Конструкция – в широком смысле охватывающая все методы элементарной арифметики – есть альфа и омега античной математики: она равносильна установлению определенного и видимого объекта. Циркуль есть резец этого второго пластического искусства. Способ работы при изысканиях в области теории функций, ставящих себе целью не определенный результат, имеющий характер величины, а исследование общих формальных возможностей, можно обозначить как известный вид теории композиции, находящийся в близком сродстве с музыкальной композицией. Целый ряд понятий из области теории музыки можно было бы также прямо применить к аналитическим операциям физики – тональность, фразировка, хроматичность, а также другие – и вопрос, не сделаются ли благодаря этому многие отношения более удобообозримыми.

Всякая конструкция утверждает видимость, всякая операция отрицает ее, так как первая вырабатывает оптические данные, вторая же их разрушает. Таким образом, вскрывается дальнейшая противоположность обоих видов математических приемов: античная математика малых рассматривает конкретный отдельный случай, решает определенную задачу, выполняет единичную конструкцию. Математика бесконечного рассматривает целые классы формальных возможностей, группы функций, операций, уравнений, кривых, причем имеет в виду не определенный результат, но само протекание процесса. Около двухсот лет тому назад – факт, о котором почти не думают наши математики – возникла идея общей морфологии математических операций, которую и следует признать за сущность новой математики. В ней вскрывается общая широкая тенденция западного духа, становящаяся со временем все более ясной, – тенденция, являющаяся исключительным достоянием фаустовского духа и его культуры и не имеющая подобия в устремлениях других культур. Большинство вопросов, являющихся насущными проблемами нашей математики – соответственно квадратуре круга у греков, как-то: исследование критерия сходимости бесконечных рядов (Коши) или обращение эллиптических и общеалгебраических интегралов в многократные периодические функции (Абель, Гаусс), вероятно, показалось бы «древним», искавшим в качестве результатов определенных величин, остроумной и несколько причудливой забавой – суждение соответствующее также и теперешнему общепринятому мнению широких кругов. Нет ничего столь же непопулярного, как современная математика, и в этом есть также своя доля символики бесконечной дали, расстояния. Все великие произведения Запада, начиная с Данте до «Парсифаля», непопулярны, наоборот, все античные, начиная с Гомера до Пергамского алтаря, популярны в высшей степени.

15

Наконец, все содержание западного числового мышления объединяется в одной классической проблеме, являющейся ключом к трудноусвояемому понятию бесконечности – фаустовской бесконечности, отличной от бесконечности арабского и индийского мирочувствования. Речь идет о теории предела вообще, независимо от частных случаев, когда число рассматривается как бесконечный ряд, как кривая или функция. Этот предел является полной противоположностью античному, который до сих пор не назвали этим именем и который выражается в неподвижно ограниченной плоскости измеримой величины. До самого XVIII века эвклидовски-популярные предрассудки затемняли смысл принципа дифференциала. Как бы осторожно ни применять наиболее доступное понятие бесконечно малого, ему все остаются присущи какой-то момент античной константности, какая-то внешность величины, хотя Эвклид не признавал его и не мог признать таковой. Нуль есть постоянная величина, некоторое число в линейной непрерывности между 1 и -1; аналитическим исследованиям Эйлера во многом повредило то обстоятельство, что он – как и многие вслед за ним – считал бесконечно малые величины за нули. Только вполне разъясненное Коши понятие предела устранило этот остаток античного чувства чисел и сделало исчисление бесконечных вполне свободной от противоречий системой. Только переход от «бесконечно малых чисел» к тому, «что находится ниже предельного значения всякой возможной конечной величины», приводит к концепции изменяющегося числа, находящегося ниже любой отличной от нуля конечной величины и, следовательно, не имеющего в себе ни малейшего признака величины. Предел в этой окончательной формулировке вообще не представляет собой нечто такое, к чему совершается приближение. Он представляет собою само приближение – процесс, операцию. Это не состояние, а поведение. Здесь, в решающей проблеме западной математики неожиданно вскрывается, что наша душа предрасположена исторически[91]

.

16