Завтрак с Эйнштейном. Экзотическая физика повседневных предметов

На первый взгляд, принцип запрета Паули, который запрещает любым двум электронам иметь абсолютно одинаковое квантовое состояние, определяемое четырьмя квантовыми числами n, l, m и s, ухудшает всю ситуацию, поскольку этот принцип управляет парами электронов. Как мы видели в главе б, самое нижнее энергетическое состояние для электронов в любом конкретном атоме находится с помощью «заполнения» доступных энергетических состояний атома (определяемых через n, l и m) максимум двумя электронами каждое: один спином вверх (s = +1/2), другое спином вниз (s = -1/2). Это естественное объединение двух электронов спином вверх и спином вниз объясняет, почему никакие из атомов ближе к краям Периодической таблицы не являются сильными магнитами. Эти элементы имеют свои внешние энергетические уровни, полностью или почти полностью заполненные, при этом их электроны находятся в парах, так что их магнитные поля вычитаются друг из друга.

Однако для элементов ближе к середине Периодической таблицы принцип запрета Паули сочетается с отталкиванием электронов, так что возникает ситуация, когда спины электронов стремятся выровняться друг относительно друга. Это связано с более глубоким пониманием принципа запрета Паули, обсужденного в главе 7, как требование к симметрии набора электронов.

Элемент из середины нескольких колонок Периодической таблицы будет иметь внешние оболочки, наполовину заполненные электронами, что, похоже, дает несколько опций для расположения этих электронов и их спинов. Канонический магнитный элемент, железо, например, имеет шесть электронов, которые может расположить в состоянии с 1=2, оно имеет пять отличающихся подуровней[220] одной и той же энергии, но с различными значениями т. Существует множество способов расположить эти электроны, но для целей понимания магнитных свойств железа мы можем сфокусироваться только на двух: одном, когда все шесть электронов собраны только на трех подуровнях, и другом, когда электроны распределены более равномерно, и только один подуровень имеет электронную пару.

Два возможных варианта расположения спинов электронов для наполовину заполненной внешней оболочки железа, один немагнитный (наверху), другой – магнитный.

Принцип запрета Паули говорит, что когда два электрона связаны в пары на одном и том же подуровне, тогда они должны иметь противоположные спины. Оба этих состояния удовлетворяют принципу запрета Паули, но то из них, где все шесть электронов связаны в пары, является немагнитным, в то время как более распределенное состояние имеет четыре непарных электрона, ориентированных в одном и том же направлении, дает ему сильные магнитные свойства. Однако энергия всех пяти n, l и m подуровней одинакова в обоих расположениях, так что может показаться, что нет причины, чтобы одно состояние было предпочтительнее другого.

Однако этот анализ не учитывает энергию, которая вносится за счет отталкивающего взаимодействия между находящимися поблизости электронами. Оно увеличивается по мере уменьшения расстояния между электронами, и пары электронов, занимающих один и тот же орбитальный подуровень, будут находиться очень близко друг к другу. Отталкивание между двумя парными электронами будет повышать энергию немагнитного состояния, делая магнитное состояние с согласованными спинами состоянием самого низкого энергетического уровня.

Вы можете резонно возразить, что можно сделать немагнитное состояние с электронами, распределенными на большее количество подуровней за счет смены направления спинов двух из непарных электронов, так что состояние будет иметь одну электронную пару, два отдельных электрона со спинами «вверх» и два электрона со спинами «вниз». Но та часть принципа запрета Паули, что отвечает за симметрию, присматривает и за этим; а как это делается, легче всего понять, если мы рассмотрим только два электрона и два подуровня.

Как обсуждалось в главе 7, принцип исключения Паули утверждает, что волновая функция для многоэлектронного состояния должна быть антисимметричной. Поскольку электроны идентичны и взаимозаменяемы, измеряемые свойства состояния в целом не могут измениться, если мы переставим ярлычки на двух электронах, но волновая функция должна поменять знак после такой перестановки. Это требование антисимметрии применяется к волновой функции в целом, как для распределения электронов по горизонтали (определяемое n, l и m), так и распределения их спинов, что означает: если одно из них антисимметрично, другое должно быть симметрично. Если и спин, и пространственная волновая функция были бы антисимметричны, обмен ярлычками будет дважды менять знак, возвращая вас к исходной точке – в физике, как и в английском языке, два отрицания (хоть и неуклюже) означают согласие (положительное).