Завтрак с Эйнштейном. Экзотическая физика повседневных предметов

Ключ к хитрости, которую придумал Белл, – это попытка посмотреть, что произойдет, когда Алиса и Боб сделают разные изменения. Если два детектора спинов настроены так, чтобы сделать одно и то же измерение, и оба искали либо направленные вверх-вниз, либо оба нацелены на левые-правые, тогда результаты будут просто связанными, и ничего больше с ними нельзя сделать. Однако, если они будут нацелены на различные свойства, скажем, один на вверх-вниз, а другой на лево-право, тогда есть некоторая вероятность получить каждую из возможных комбинаций. Диапазон возможных вероятностей различен для теории локальных скрытых переменных и квантовой механики.

Суть подхода локальных скрытых переменных в том, что каждая частица должна нести с собой ряд инструкций о том, какой результат она должна «показать» для каждого из возможных измерений, которые могут быть над ней произведены. Чтобы привести более конкретный пример, мы можем приписать значения «0» и «1» двум возможным различным результатам (скажем, «1» для спина вверх и «0» для спина вниз), и рассматривать три различных возможных положения (настройки) для угла детектора по отношению к направлению вверх-вниз. (Три варианта для измерения является минимальным числом, что обеспечивает достаточную сложность для иллюстрации теоремы Белла; в действительности существует бесконечное количество возможных выборов, но тут требуется хитрость при вычислениях, чтобы справиться с таким количеством.) Теория скрытых переменных в таком случае допускает, чтобы пары частиц существовали в восьми возможных состояниях, которые мы можем пронумеровать в таблице[275]:

Каждый ряд показывает возможное состояние для пары частиц и измерений, которые будут в результате для каждой настройки детектора. Колонка «А» показывает измерения результатов, сделанных Алисой в каждом из трех вариантов настроек; колонка «Б» отражает измерения, сделанные Бобом. Любая пара запутанных частиц, использованных в эксперименте, должна быть в одном из этих восьми состояний, выбранных случайным образом.

Чтобы понять аргументацию Белла, мы должны представить себя в роли «установщика переменных», выбирая состояние каждой из запутанных пар в попытке согласовать результат с предсказаниями квантовой механики. Мы свободны настраивать вероятность каждого из этих восьми происходящих состояний с одним ограничением, чтобы набор повторяемых измерений любым одиночным детектором при любых установках всегда в результате должен давать 50 процентную вероятность нуля и 50 процентную вероятность 1.

Как вы можете видеть, когда оба детектора имеют одинаковую установку, результаты всегда противоположны, что отражает запутанность между частицами, так что часть работы установщика переменных проста. Однако, как указал Белл, есть более хитрый вопрос, а именно, что произойдет, когда два детектора повернуты на различные углы. Мы хотим, чтобы наш подход со скрытыми переменными совпадал с предсказаниями квантовой теории, какими бы они ни были, так что нам надо выработать максимальную и минимальную вероятность получения противоположных результатов для А и Б для любой пары различных настроек детекторов.

Относительно легко увидеть, как сделать результат с максимальной вероятностью, которая равна 100 процентам: просто надо, чтобы половина запутанных пар находилась в состоянии I и другая половина в состоянии VIII. Для каждого из этих состояний не важно, как Алиса настроит детектор, 1 для нее будет парой с 0 для Боба, и наоборот.

Чтобы получить минимальную вероятность, мы очевидно должны исключить эти два состояния: если вы внимательно посмотрите на оставшиеся шесть, то увидите, что всегда существует ровно два состояния, которые дают противоположные результаты для любой конкретной пары настроек детекторов. Например, если мы используем комбинации A1 и B2, состояния II и IV дадут противоположные результаты; если вместо этого мы выберем А2 и В3, состояния IV и V дадут нужный результат. Если эти шесть состояний одинаково вероятны, поскольку они должны обеспечить шанс 50/50 получения 0 или 1 для каждого отдельного детектора, мы имеем один шанс из трех на получение противоположных результатов.

Вероятность получения противоположных результатов при различных настройках, таким образом, должна простираться от максимума в 100 процентов до минимума в 33 процента. Как установщик переменных, мы можем сделать, чтобы наш источник скрытых локальных переменных совпадал с поведением квантовых запутанных частиц для любого сценария при условии, что вероятность противоположных измерений результатов никогда не будет меньше одного к трем.