Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

Работы Фреге ясно показали (хотя сам Фреге с этим не был согласен^[12]

): абстрактная (и тем более формальная, то есть основанная на формализованной логике) теория сама по себе не может быть «верной» или «неверной» с точки зрения содержания. Содержательные соображения получают право на существование только тогда, когда установлена интерпретация формальной системы, то есть когда система использована как схема каких-то «реальных» явлений. Но какова «природа» элементов абстрактной, формальной системы? В частности, что такое точки и прямые абстрактной геометрии?

Гильберт подробно осветил этот вопрос в своей книге. Точки, прямые и плоскости он назвал «тремя системами вещей», удовлетворяющих аксиомам геометрии. Таким образом, он объявил аксиомы скрытыми (неявными) определениями основных понятий некоторой абстрактной структуры. Точки, прямые и плоскости — это любые вещи, которые подчинены условиям, что для любых двух точек существует прямая и притом только одна, проходящая через каждую из этих точек; что через прямую и точку, на ней не лежащую, проходит одна и только одна плоскость, и т. д. Все это соответствовало естественному движению математики к аксиоматическому методу. Но оставалась нерешенная деталь: в чем все-таки состоит гарантия того, что система аксиом геометрии удовлетворяет требованию логически непротиворечивости?

Ясно, что ссылки на применения геометрии к другим областям, ни разу не приводившие к противоречиям, не являются залогом того, что противоречия и впредь не возникнет. Чтобы с полным спокойствием применять геометрию в сфере физики и других конкретных наук, следовало бы иметь более строгие доказательства того, что этот аппарат с точки зрения своей внутренней структуры абсолютно надежен. Ведь система, в которой не возможно доказать некоторое положение и его отрицание, заведомо не годится ни для какой интерпретации. Гильберт показал, что непротиворечивость геометрии такова же, как и непротиворечивость арифметики, то есть, что если арифметика непротиворечива, то непротиворечива и геометрия. Итак, все замкнулось на арифметику.

Когда началось брожение математических умов, вызванное обнаружением парадоксов теории множеств и лозунгами Брауэра, Гильберт вновь вернулся к проблемам обоснования математики. Надо было продолжить работу с того пункта, на котором она была закончена, перейти к отысканию способов доказательства непротиворечивости арифметики. Но почему Гильберт рассматривал такое доказательство как решающий аргумент против интуиционизма?

Это было связано с его теорией «идеальных элементов» в математике. Гильберт принимал, что бесконечные множества не соответствуют ничему реальному в природе. Но ведь и в задачах, где исследуются целые числа, могут в промежуточных фазах вычисления встретиться дроби, которые тоже ничему в данном случае не соответствуют и которые в окончательный результат не войдут, они введены нами для удобства вычислений, из соображений формальной простоты и компактности. То же можно сказать о комплексных числах, встречающихся в уравнениях прогиба стержней. Комплексные числа не описывают непосредственно стержня, но, появляясь в промежуточных стадиях вычисления, сокращают путь решения задачи, делают решение лаконичным и простым. Иными словами, кратчайшая дорога, соединяющая области реальные, может пролегать по области «воображаемых» объектов — «идеальных элементов». Мы сможем без опаски пользоваться этими элементы ми, если докажем раз навсегда, что теория, построенная с их участием, не приведет к противоречию^[13]

. И тогда не нужно искать никакой «изначальной индукции» разума или других столь же туманных источников надежности математики. Ее надежность — это ее непротиворечивость, другие требования просто лишены смысла.

Попробуем проследить идейные основы концепции идеальных элементов» Гильберта.

Воспитанный в немецком университете профессорами, целиком принадлежавшими к поколению, считавшему теоретико-множественное мышление идеалом строгости, он и сам впитал смолоду этот образ мышления. Канторовская теория множеств рисовалась ему одним из величайших завоеваний человеческого гения. «Никто не сможет изгнать нас из рая, который создал нам Кантор», сказал Гильберт^[14], осуждая попытки Брауэра я его учеников «развалить» математику.