Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

14. Мы не останавливаемся на некоторых деталях определения;

понятия «верные равенства формул», отсылая читателя к книге П. С. Новикова, указанной в примечании 6.

В этой книге говорится, правда, об отношении «равносильности» формул, но это по существу то же, что мы имеем в виду под совпадением функций (точнее, впрочем, то же, что в следующей интерпретации окажется равенством или равносильностью форм высказываний).

47

15. Вместо слов «формула а при данных значениях своих переменных переходит в истинное (или ложное) высказывание» мы будем употреблять и такое выражение: «формула а принимает такое-то (истинностное) значение», а также говорить: «формула а истинна (ложна)».

48

16. В связи с данной интерпретацией заметим, что со знаками -> и можно было с самого начала поступить иначе: не вводить их определениями (как сокращения), а включить в сам язык формальной системы — в ее алфавит (расширив соответствующим образом пункт I в)). Это приведет к расширению понятия формулы и добавлению к системе постулатов схем аксиом для -> и . А именно, в пункт II (в) добавляется- «если а и — формулы, то (а -> ) и (а ) — тоже формулы», а к системе постулатов IV[a] присоединяются: 18. (а -> ) = (~а V ) и 19. (а ) = (~а V ) & (а V ~)). Пункт V при этом должен быть удален.

49

17. Ср. формулировку этих законов у Джевонса (с. 43). Очевидно, что способ «формульного» представления этих законов зависит от характера рассматриваемого логического аппарата.

рис. 7. Круговые схемы, изображающие пять возможных отношений между двумя произвольными классами а и .

50

18. Аналогично, в школьной математике не пишут, скажем, ((а+b)+с)+d или (а+b)+(с+d) а записывают просто а+b+с+d.

51

19. Эрнет Шредер (E. Schroder, 1841—1902) является автором трехтомных «Лекций по алгебре логики» (Vorlesungen uber die Logik. Bd. 1-3, Leipzig, 1890—1905), знаменующих собой — вместе с трудами русского логика и астронома П. С. Порецкого (1846—1907) — вершину развития алгебры логики в прошлом столетии. Задача, которая приводится ниже, заимствована из первого тома «Лекций». Эту задачу приводила в своих лекциях по математической логике в Московском университете С. А. Яновская; мы приводим задачу в ее формулировке.

52

20. Впрочем, операции булевой алгебры можно задавать указанием и других наборов их свойств. О булевых алгебрах см., например:

И. М. Яглом. Алгебра Буля.— В сб.: «О некоторых вопросах современной математики и кибернетики». М., 1965.

53

21. Напоминаем, что здесь высказывание понимается «классически», то есть как выражение либо истинное, либо ложное, но не то и другое вместе.

54

22. При другом подходе булевой алгеброй для логической интерпретации нашего аппарата можно считать множество форм высказываний (рассматриваемых с точностью до отождествления равносильных форм) вместе с заданными на них операциями ~, &. V - такая булева алгебра высказываний оказывается алгеброй Линденбаума — Тарского, о которой см.: Е. Расёва, Р. Сикорскии. Математика метаматематики. М., 1972, с. 282 и далее.

55

23. Заметим, что булеву алгебру можно сформулировать и на основе отношения = (или >=). См: X. Б. Карри. Основания математической логики. М., 1969.

56

24. Для этого имеются и другие причины. Дело в том, что в алгебре логики Буля можно определить операцию дизъюнкции, и тогда все равенства, верные в логике высказываний как булевой алгебре, будут верными и в теории Буля; с другой стороны, в рассмотренной нами теории можно определить строгую дизъюнкцию (например, так:

(А V B)((A ~В) V (~А В)), и тогда теория Буля может быть пред. ставлена как теория булевой алгебры (в узком смысле).

57

25. Понятие формы класса (классовой формы) следует понимать по аналогии с понятием «форма высказывания».

57

26. Ср. примечание 14.

58

27. Заметим, что при проверке схем аксиом, в каждой из которых фигурирует по две формы классов, следует учитывать возможные отношения между двумя произвольными классами а и . Таких отношений может быть пять: классы а и совпадают; класс а полностью входит в класс , причем в имеются элементы, не принадлежащие а; то же отношение, но с заменой а на и наоборот; классы а и имеют общие элементы, причем в а есть элементы, не принадлежащие классу , и в есть элементы, не принадлежащие а; классы а и не имеют общих элементов. Эти отношения можно передать следующими схемами (рис. 7). Проверяя равенство, нужно убедиться в его справедливости при каждом из этих отношений.

59