Живая математика. Нематематическая книга о вдохновении, науке, образовании и жизни

Я не стал троллить молодого человека по случаю Пасхи, задавая ему вопрос о том, в чём же заключаются его «научные позиции» и как именно они, с его точки зрения, противоречат нашей вере. Лучше сосредоточимся на Божественной красоте науки. Например, нет ничего более завораживающего, чем построение правильного пятиугольника с помощью циркуля и линейки. Или, скажем, понятие совершенного числа — такого числа, сумма делителей которого (почти всех делителей — за исключением самого числа!), равна как раз ему самому. Нечётных совершенных чисел не существует, предположил Евклид примерно две с половиной тысячи лет назад — и никто до сих пор не может этого предположения ни доказать, ни опровергнуть — это одна из самых старых нерешённых задач математики! Из более нетривиальных, но не менее поражающих своей красотой математических достижений человечества упомяну доказательство великой теоремы Ферма при n = 3, с выходом из области целых чисел в область чисел Эйзенштейна.

Красота мира — это красота математики!

Конечно, есть и другие виды красоты. Бывает девушка красивая, а бывает красивый вид с горы. Красота — это то, что вызывает в тебе чувство сопричастности Божественному. Чему-то вне тебя, приходящему к тебе извне. Красота трансцендентности, и не обязательно в математическом смысле слова (хотя концепция трансцендентных чисел тоже прекрасна!). Что-то, что тебе дано в ощущениях, но что ты не можешь постичь: как это могло появиться? Откуда это могло прийти?

Когда видишь такую красоту, трудно не реагировать эмоционально. Одно время мы матерились много, прямо в интернет фигачили видео без всякого запикивания. Но после одного случая мои начальники собрались и хором сказали, что они просят меня не использовать матерные слова в эфире. С тех пор я стараюсь обуздать свой язык.

В математических роликах я прекратил мат вообще, хотя часто приходится сдерживаться, когда, например, вижу какое-нибудь фантастически красивое доказательство. Сложно не крикнуть что-нибудь восторженное. Понятно, страсть и восторг выходят наружу не всегда в приличном виде.

Мифы математики

Если математика — наука точная, то откуда в ней исключения?

Правильный ответ такой: ниоткуда, их в ней нет. Дважды два четыре — везде и всегда, в любом месте, на Луне, на Марсе или где бы то ни было ещё. Почему же, в таком случае, люди полагают, что в математике есть исключения? Мне на ум приходят две причины.

Первая: в математике бывают рассуждения типа «Все простые числа — нечётные. Но есть одно исключение — число 2». Здесь «исключительность» связана не с какими бы то ни было правилами, а со спецификой постановки вопроса.

Ведь в утверждении «все простые числа — нечётные» подразумевается что? Что любое чётное число делится на 2, поэтому оно уже не может быть простым. Однако в этом рассуждении, естественно, содержится логический пробел: само-то число 2 делится на 2, но при этом оно простое (ни на какое число, кроме себя и единицы, число 2 не делится). Вот и создаётся ощущение, что исключение здесь есть, но на самом деле никакого исключения нет.

А вторая причина более тонкая. Если открыть сложные книги по математике, то они пестрят утверждениями типа «почти для всех x (икс) верно то-то». Создаётся впечатление, что в математике всё же есть исключения, раз присутствует слово «почти».

Но на самом деле подобные рассуждения относятся к теории меры и являются абсолютно строгими. Грубо говоря, с какой-то вероятностью, если я возьму наугад точку из отрезка [0,1], то получу число 1/е. С какой вероятностью? Если подумать, то станет ясно, что только с нулевой. Однако всё-таки это событие возможно. Вот такого рода исключения бывают в математике, и их изучают в теории меры. Но это уже сложный материал.

Говорят, что если скинуть с небоскрёба монетку, то она может убить человека.

Это не так. Дело в том, что монетка, с какой бы высоты она ни летела (достаточно большой, например начиная с 10 метров), уже входит в колебательный режим: когда она летит вниз ребром, она разгоняется. Но чуть она отклонится в полёте хоть на градус от вертикального положения — а понятно, что в какой-то момент случайное отклонение будет — как она тут же «встаёт плашмя» и очень сильно тормозится. Летя плашмя, она точно никого не убьет.

Потом монетка может снова повернуться и некоторое время вновь лететь вниз ребром. Потом снова плашмя. В такой непрерывной смене фаз она и будет лететь с небоскрёба. Поэтому, если бы высказанное утверждение было верным, то было бы верным и другое утверждение: что монетка, сброшенная с третьего этажа, убьёт человека.

Очевидно, это не так.

Человеку повезёт, если монетка упадёт на него плашмя, ибо тогда он вообще почти ничего не почувствует. И не очень повезёт, если она упадёт ребром, потому что тогда ему будет больно. Но смертельной травмы он в любом случае не получит.