Жизнь науки

К высшей арифметике относится то, что Эвклид с присущими древним изяществом и строгостью изложил в «Началах», в книге VII и следующих; однако это представляет собой лишь первые шаги этой науки. Знаменитое сочинение Диофанта, целиком посвященное проблемам неопределенного анализа, содержит много исследований, которые вследствие их трудности и красоты методов свидетельствуют об уме и проницательности их автора, особенно, если учесть незначительность вспомогательных средств, находившихся в его распоряжении. Так как, однако, эти задачи больше требуют находчивости и сообразительности чем глубоких методов, и, кроме того, являются слишком специальными и редко приводят к более общим выводам, то эта книга рассматривается как эпоха в развитии математики скорее потому, что она содержпт в себе первые следы искусства, характерного для алгебры, а не потому, что она обогатила новыми открытиями высшую арифметику. Главным образом более поздним исследователям, правда, немногочисленным, но завоевавшим непреходящую славу,— таким, как Ферма, Эйлер, Лагранж, Лежандр, мы обязаны тем, что они нашли доступ к сокровищнице этой Зожественной науки и показали, какими богатствами она наполнена.

однако, не буду здесь перечислять, какие открытия принадлежат каждому из этих математиков в отдельности, так как это можно узнать [з предисловия к дополнениям, которыми Лагранж снабдил «Алгебру» Эйлера, и из недавно вышедшего сочинения Лежандра, о котором ско-ю будет упоминаться; кроме того, об этом говорится в соответствующих юстах настоящих «Арифметических исследований».

Целью этот труда, издать который я обещал еще пять лет н!азад_т •ыло довести до общего сведения те исследования по высшей арифме-пке, которыми я занимался частью ранее, частью позже указанного рока. Однако, чтобы никто не удивлялся, что я здесь повторяю предмет :очтн с самого начала и заново произвожу многие исследования, кото-ыми уже занимались другие, я считаю необходимым указать на то, то когда я в начале 4795 г. впервые принялся за исследования та-ого рода, я ничего не знал о том, что было сделано за последнее ремя в этой области, и все средства, при помощи которых я получал вой результаты, я изобретал сам. Именно, занимаясь в то время другой аботой, я случайно натолкнулся на одну изумительную арифметпче-чую истину (если не ошибаюсь, она изложена в виде теоремы i* п. 108), и так как она пе только показалась мне прекрасной сама по себе, но и навела на мысль, что она связана и с другими выдающимся фактами, я со всей энергией взялся за то, чтобы выяснить принципы, па которых она основывается, и получить строгое ее доказательство. После того как это желание, наконец, осуществилось, прелесть этих исследований настолько увлекла меня* что я уже не мог их оставить; так и получилось, что в то время как одни все время про-лагали дорогу другим в том, что изложено в первых четырех разделах этого труда, я сам имел о подобных работах других математиков лишь приблизительное представление. Когда же мне, наконец, представилась возможность ознакомиться с работами этих выдающихся умов, то я понял, что большая часть моих рассуждений была посвящена уже давно известным вещам, но с тем большей охотой решился я следовать по стопам этих ученых, которые двигали арифметику вперед; так возникли различные исследования, часть которых составляют разделы V, VI, VII. Когда я, спустя некоторое время, принял решение опубликовать результаты моих усилий, то я, идя навстречу желаниям многих, тем охотнее решил не выбрасывать ничего также и из указанных более ранних исследований, что, во-первых, в то время еще не было книги, по которой можно было бы ознакомиться с рассеянными по академическим изданиям работами других математиков по этому вопросу; затем, потому, что многие из этих исследований были совершенно новыми и проводились новыми методами, и, наконец, потому, что все они так тесно переплетались как между собой, так и с более поздними исследованиями, что новые неудобно было бы изложить достаточно ясно без того, чтобы сначала не напомнить некоторые другие вещи.

Тем временем появилось сочинение уже и до того имевшего большие заслуги в высшей арифметике Лежандра («Essai d’une theorie des nombres, год VI), в котором он не только тщательно обработал и привел в порядок все, что было сделано в этой науке до сих пор, но и привнес очень мпого своего собственного. Так как эта книга попала ко мне в руки слишком поздно, когда большая часть моего сочинения была уже готова, я ее нигде не упоминал в тех случаях, когда аналогия рассматриваемых вопросов могла бы дать к этому повод; лишь в отношении нескольких ее мест я счел необходимым сделать некоторые замечания в дополнениях, которые, как я надеюсь, любознательный читатель не оставит без внимания.