Значимые фигуры

Боги (33), глаза (2), слоны (8), змеи (8), огни (3), качества (3), веды (4), накшатры (27), слоны (8) и руки (2) – мудрые говорят, что такова мера длины окружности, когда диаметр ее равен 900 000 000 000.

Что первым приходит в голову? На самом деле это перевод стихотворения о числе π, написанного около 1400 г. Мадхавой из Сангамаграмы – величайшим, вероятно, средневековым индийским математиком и астрономом. Боги, слоны, змеи и т. п. – это символические обозначения чисел, которые предполагалось рисовать в виде маленьких картинок. Вместе (с конца, по списку) они представляют число

282 743 388 233.

При делении на 90 млрд получается

3,141592653592222…

Это, пожалуй, выглядит более знакомо. Отношение, о котором идет речь, представляет собой геометрическое определение числа π, равного

3,141592653589793…

Эти два числа совпадают до 11-го знака после запятой (округляя 589 до 59 на 10-м и 11-м месте). В то время это было одним из лучших известных приближений. К 1430 г. персидский математик Джамшид аль-Каши побил этот рекорд, получив в своей книге «Мифтах аль-хисаб» («Ключ к арифметике») 16 знаков после запятой.

До нас дошли кое-какие астрономические тексты Мадхавы, но его математические работы известны только в изложении позднейших комментаторов. Вечная проблема приписывания великому основателю и учителю результатов, полученных его интеллектуальными потомками (так, к примеру, все открытое любым членом пифагорейского культа по умолчанию приписывается Пифагору), означает, что мы не можем с полной уверенностью сказать, какие результаты были получены непосредственно Мадхавой. В дальнейшем рассказе я буду принимать слова его последователей на веру.

Его величайшим достижением было введение бесконечных рядов; таким образом были сделаны первые шаги в направлении математического анализа. Он обнаружил то, что известно на Западе как ряд Грегори для функции арктангенса и ведет к выражению числа π в виде бесконечного ряда. Самые впечатляющие его открытия – бесконечные ряды для тригонометрических функций синуса и косинуса, которые на Западе были найдены только Ньютоном, на 200 с лишним лет позже.

* * *

О жизни Мадхавы известно мало. Он жил в селении Сангамаграма, и это название по традиции добавляется к его имени, чтобы отличать от других людей с именем Мадхава, таких как астролог Видья Мадхава. В селении был храм, посвященный одноименному богу. Считается, что располагалось это селение возле современного селения браминов Ириньялакуда. Это недалеко от города Кочина в штате Керала – длинной вытянутой области на южной оконечности Индии, зажатой между Аравийским морем на западе и горной цепью Западные Гаты на востоке. Во времена позднего Средневековья Керала был крупным центром математических исследований. Большинство раннеиндийских математиков происходили из более северных мест, но по неведомой причине Керала в какой-то момент перехватил инициативу. Математику в Древней Индии, как правило, рассматривали как часть астрономии, и Мадхава основал Керальскую школу астрономии и математики.

В эту школу входило большое количество необычайно сведущих математиков. Парамешвара – индийский астроном, который использовал наблюдение затмений для проверки точности вычислительных методов того времени. Он оставил после себя по крайней мере 25 рукописей. Келаллур Нилаканта Сомаяджи в 1501 г. написал значительный астрономический трактат «Тантрасамграха», состоящий из 432 стихов на санскрите, объединенных в восемь глав. В частности, он включает поправки Нилаканты к теории движения Меркурия и Венеры великого индийского математика Арьябхаты. Он написал также обширный комментарий «Арьябхатия бхасья» на другой труд Арьябхаты, в котором обсуждаются алгебра, тригонометрия и бесконечные ряды для тригонометрических функций. Естхадева написал «Юктибхасу» – комментарий к «Тантрасамграхе», в который добавлены доказательства ее основных выводов. Некоторые считают этот текст первым трудом по дифференциальному исчислению. Мельпатур Нараяна Бхаттатир – математический лингвист – расширил в труде «Пркриясарвавом» аксиоматическую систему Панини из 3959 правил для санскритской грамматики. Прославился он «Нараяниямой» – похвальной песней Кришне, которая поется в Индии до сих пор.

* * *